aproximação Linear-aplicações derivadas

aproximação Linear

digamos que um dia se esqueceu de uma calculadora e deseja realmente descobrir como é a raiz quadrada de 2. Como descobriríamos sem uma calculadora? Podemos usar aproximação linear!

Linearização de uma função

A linearização de uma função é apenas sobre encontrar a linha tangente da função em um ponto específico de uma maneira diferente., A linearização fórmula é a seguinte:

onde L(x) é a equação da reta tangente no ponto a.

Como é que isto é útil para nós? Bem, nós podemos realmente usar esta equação para aproximar os valores da função perto do ponto A. Dê uma olhada neste gráfico. ,

Observe que para valores de x perto de ponto, vemos que a função e a reta tangente é relativamente próximos uns dos outros. Por causa disso, somos capazes de escrever que a função é aproximadamente igual à linha tangente perto do ponto A., Em outras palavras,

onde ≈\approx≈ está a cerca de símbolo. Esta equação é conhecida como a fórmula de aproximação linear. É linear em um sentido que a tangente é uma linha reta e nós estamos usando-a para aproximar a função. Usando esta aproximação, somos capazes de aproximar valores que não podem ser feitos à mão. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 ou o log natural de 5 podem ser todos aproximados!, Uma coisa importante a notar é que esta aproximação só funciona para os valores x perto do ponto A. Se você tem um valor x longe do ponto a, então a aproximação torna-se realmente imprecisa.

Agora não vamos dar uma olhada em alguns exemplos de encontrar a linearização de uma função e, em seguida, olhar para como usar a aproximação linear!

Find the linearization of L(x) of the function at a

Question 1: Consider the function

digamos que queremos encontrar a linearização da função no ponto a=4.

Para encontrar a linearização L(x), lembre-se que

• Step 1: Find a
• Step 2: Find f(A)
• Step 3: Find f'(a).
• Passo 4: Plug all three into the formula to find L (x)

• Let’s follow these steps!,

  Passo 1: felizmente a = 4 nos é dado na pergunta, então não temos que procurá-lo.

• Step 2:

  Notice that

  

• Passo 3:

  Sabe-se que a derivada de raízes quadradas é

  

  And so plugging in x=a gives us:

  

• Step 4:

  Since we know a, f(a), and f'(a), we can now plug it into L(x) to find the linearization of f(x).

  Hence,

  

  Então L(x)=14\frac{1}{4}41x+1 é a linearização desta função no ponto x=4. Além disso, é também a linha tangente da função no ponto x=4.

Como fazer a aproximação linear

Lembra-te antes que dissemos que podíamos usar a equação da linha tangente para aproximar os valores da função perto de a? Vamos tentar com a linearização que encontramos antes. Recordar que

para pontos próximos de x=4. Podemos mudar isso para uma aproximação linear para f (x) dizendo que:

agora, digamos que eu quero aproximar f(4.04). Se ligasse isto à função original, receberia 4,04\sqrt{4,04}4,04 . Isto seria muito difícil de calcular sem uma calculadora., No entanto, a utilização de aproximação linear, pode-se dizer que

até agora, estas questões nos deram uma função e um ponto para trabalhar. E se nada disto foi dado? E se a pergunta nos diz apenas para estimar um número?

Use aproximação Linear para estimar um número

suponha que queremos estimar 10\sqrt{10}10. Como o faríamos?, Seria necessário usar a aproximação linear

mas nós nem sequer temos uma função e um ponto para trabalhar. Isto significa que temos de ser nós a fazê-los. Isto leva-nos a fazer os seguintes passos:

• Passo 1: criar uma função
• Passo 2: criar um ponto a
• Passo 3: Encontrar f(A) E f'(A)
• Passo 4: Ligar tudo à fórmula de aproximação linear

  vamos seguir os passos!,

Pergunta 2: estimativa 10\sqrt{10}10

• Passo 1: vamos criar uma função. Note that we are estimating
  

  precisamos, de alguma forma, fazer uma relação entre f(x) e 10\sqrt{10}10. Não podemos dizer que f ( x) = 10\sqrt{10}10 porque a função não será dependente de x. Então por que não fazemos isso? Let

  

  Se fizermos isso, estamos basicamente dizendo

  

  podemos agora obviamente dizer qual a função deve ser. Let

  

  assim temos uma função, mas agora precisamos de um ponto a para trabalhar.,

• Passo 2:

  a chave para encontrar o valor certo a é considerando duas coisas:

  1) Certifique-se de que o valor a está próximo de x

  2) Certifique-se de que f(A) é um número agradável.a = 8 seria suficiente? Bem, 8 é quase 10, por isso não é mau. No entanto,

  

  Notice that 8\sqrt{8}8 is not a very nice number. Na verdade, recebes um monte de números decimais. Temos de tentar outra coisa.,a = 9 seria suficiente? Mais uma vez, o 9 é quase 10, por isso está tudo bem. Also,

  

  f(A) é realmente um bom número inteiro aqui, então isso realmente funciona! Então escolher a = 9 é suficiente.

• Passo 3:

  Note que a partir de anterior:

  

  Calculating f'(x) we have again:

  

  So

  

• Step 4:

  Going back to the linear approximation formula we have:

  

  Plugging a, f(a), f'(a), f(x), and x in our formula you will see that:

  

  Hence, we just approximated the number!,

Se você quiser mais problemas de prática sobre aproximação linear, então eu recomendo que você olhe para esta ligação aqui.

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LinearApproximations.aspx

Superestimar e Subestimar

sabemos que a aproximação linear é apenas uma estimativa do valor da função em um determinado ponto. No entanto, como é que sabemos se a nossa estimativa é uma sobrestimação ou uma subavaliação? Calculamos a segunda derivada e olhamos para a concavidade.,

côncavo para cima vs côncavo para baixo

Se a segunda derivada da função é maior que 0 para valores próximos a, então a função é côncava para cima. Isto significa que a nossa aproximação será uma subestimação. Em outras palavras,

Por quê? Vamos dar uma olhada neste gráfico.,

Observe que f(x) é côncava para cima e a reta tangente é direito f(x). Digamos que devemos usar a linha tangente para aproximar f (x). Então os valores y da linha tangente serão sempre menores que o valor real de f(x). Portanto, temos uma subestimação

agora se a segunda derivada da função é menor que 0 para valores próximos a, então a função é côncava para baixo., Isto significa que a nossa aproximação será uma sobrestimação. Em outras palavras,

de Novo, por quê? Vamos ver outro gráfico.

Observe que f(x) é côncava para baixo e a reta tangente é direito acima de f(x). Mais uma vez, digamos que vamos usar a linha tangente para aproximar f(x)., Então os valores y da linha tangente serão sempre maiores que o valor real de f(x). Por isso, temos uma sobrestimação.

por Isso, se você precisa ver se o seu valor é uma subestimação ou superestimação, certifique-se de que você siga estas etapas:

• Passo 1: Encontrar a segunda derivada
• Passo 2: observe a concavidade da função de perto de ponto de um
• Passo 3: Confirmar que ele está subestimado/superestimar

Vamos dar uma olhada em um exemplo:

a Pergunta 3: seja f(x) = x\sqrt{x}x e a = 4. Se nós lineares aproximarmos f (4.,04), seria uma sobrestimação ou uma subestimação?

• Step 1: See that
  

  Então a segunda derivada é

  

• Step 2:

  Notice that a=4, so we want to look at positive values of x near 4. Agora Veja o segundo derivado., When x is positive, we see that

  

  por isso, é côncava para baixo

• Passo 3:

  sabemos que, se a função é côncava para baixo, então a reta tangente será acima da função. Assim, usar a linha tangente como uma aproximação dará um valor sobrestimado.

diferenciais

não só podemos aproximar valores com aproximação linear, como também podemos aproximar-nos com diferenciais., Para aproximar, usamos a seguinte fórmula

onde dy e dx são diferenciais, e f'(x) é a derivada de f em relação a x. Uma vez que estamos lidando com pequenas mudanças em x e y, então vamos usar o fato de que:

no Entanto, a maioria das questões que envolvem a definição

Então, usando estes fatos nos leva a ter:

esta aproximação é muito útil quando se aproxima a mudança de y., Tenha em mente então eles não tinham Calculadoras, então esta é a melhor aproximação que eles poderiam obter para funções com raízes quadradas ou logs naturais.

na maioria das vezes você terá que procurar por f'(x) e Δ\DeltaΔx você mesmo. Em outras palavras, siga estes passos para aproximar Δ\DeltaΔy!

• Step 1: Find Δ\DeltaΔx
• Step 2: Find f'(x)
• Step 3: Plug everything into the formula to find dy. dy será a aproximação Para Δ\DeltaΔy.

Let’s look at an example of using this approximation:

Question 4: Consider the function y = ln(x + 1)., Suponha que x muda de 0 para 0,01. Aproximadamente Δ\DeltaΔy.

• Step 1: Notice that x changes from 0 to 0,01, so the change in x would be:

  

• Passo 2:

  A derivada seria:

  

• Passo 3:

  Ligar tudo em nós tem:

  

  Portanto, Δ\DeltaΔy ≈\approx≈ 0.01

no Entanto, a maior parte do tempo queremos estimar um valor da função, e não a alteração do valor. Assim, adicionaremos ambos os lados da equação por y, que nos dá:

o que é o mesmo que:

esta equação é um pouco difícil de ler, por isso vamos reorganizá-la ainda mais. Vamos tentar livrar-nos do y E Do Δ\DeltaΔy. Observe que Δ\DeltaΔy+ y é basicamente o mesmo que encontrar o valor da funł c ao Δ\DeltaΔx+x. Em outras palavras,

Portanto, substituindo na nossa aproximação acima nos dará:

where f(Δ\DeltaΔx+x) is value we are trying to estimate. Como usamos esta fórmula? Eu recomendo seguir estes passos:

vamos usar estes passos para a seguinte pergunta.Pergunta 5: usar diferenciais para aproximadamente 10\sqrt{10}10.

• Passo 1: comparar f (Δ \ DeltaΔx+x)com 10\sqrt{10}10., Since 10\sqrt{10}10 has a square root and 9 is a perfect square that is closest to 10, then let

  

  Notice that:

  

  Veja que não há nenhuma escolha mas para deixar o Δ\DeltaΔx = 1

• Passo 2:

  Veja que o derivativo dá a:

  

  isto implica

  

• Passo 3:

  Ligar tudo na fórmula dá-nos a:

  

  portanto, nós apenas aproximamos o número.

uma coisa interessante a notar é que a aproximação linear e os diferenciais ambos dão o mesmo resultado para 10\sqrt{10}10.,

Se você deseja saber mais sobre os diferenciais, clique neste link:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LinearApproximations.aspx

Provando a Regra de L’Hospital usando aproximação linear

Agora temos aprendido muito sobre a aproximação linear, mas o que mais podemos fazer com ele? Podemos usar a fórmula de aproximação linear para provar uma regra conhecida como Regra do Hospital . Aqui está como a prova funciona.

Recall that the linear approximation formula is:

Veja o que podemos reorganizar a fórmula de modo que:

Perceber que a aproximação torna-se mais e mais precisos como nós escolhemos os valores de x que estão mais perto de um. Em outras palavras, se tomarmos o limite como x→a, então eles serão iguais. So

agora note que podemos aplicar a fórmula que derivamos anteriormente aqui. So now