aplicații derivate de aproximare liniară

aproximare liniară

să spunem că într-o zi ai uitat un calculator și chiar vrei să afli cum este rădăcina pătrată a lui 2. Cum am afla fără un calculator? Putem folosi aproximarea liniară!Linearizarea unei funcții este doar despre găsirea liniei tangente a funcției într-un anumit punct într-un mod diferit., De liniarizare formula este:

unde L(x) este ecuația de linie tangentă la punctul a.

Ce este acest lucru util pentru noi? Ei bine, putem folosi de fapt această ecuație pentru a aproxima valorile funcției în apropierea punctului A. uitați-vă la acest grafic.,

Observa că pentru valori x în apropiere de punctul o, vom vedea că funcția și linia tangentă este relativ aproape unul de altul. Din acest motiv, putem scrie că funcția este aproximativ egală cu linia tangentă din apropierea punctului a., Cu alte cuvinte,

în cazul în care ≈\cca≈ este de aproximativ simbol. Această ecuație este cunoscută sub numele de Formula de aproximare liniară. Este liniar într-un sens că tangenta este o linie dreaptă și o folosim pentru a aproxima funcția. Folosind această aproximare, putem aproxima valori care nu pot fi realizate manual. De exemplu, rădăcina pătrată a 2 sau jurnalul natural al 5 poate fi aproximată!, Un lucru important de reținut este că această aproximare funcționează numai pentru valorile x lângă punctul A. Dacă aveți o valoare x departe de punctul a, atunci aproximarea devine cu adevărat inexactă.

acum nu ne aruncăm o privire la câteva exemple de a găsi liniarizarea unei funcții și apoi uita-te la modul de utilizare aproximare liniară!

Găsi liniarizare a L(x) a funcției într-un

Întrebarea 1: se Consideră funcția

Să spunem că vrem să găsim liniarizare a funcției în punctul a=4.

Pentru a găsi liniarizare L(x), reamintim că,

• Pasul 1: Gaseste un
• Pasul 2: f(a)
• Pasul 3: Gaseste f'(a).
• Pasul 4: Conectați toate cele trei în formula pentru a găsi L(x)

• să urmăm acești pași!,

  Pasul 1: din fericire, a = 4 ne este dat în întrebare, deci nu trebuie să o căutăm.

• Pasul 2:

  Observați că

  

• Pasul 3:

  Știu că derivat din rădăcini pătrate este

  

  And so plugging in x=a gives us:

  

• Step 4:

  Since we know a, f(a), and f'(a), we can now plug it into L(x) to find the linearization of f(x).

  Hence,

  

  Deci L(x)=14\frac{1}{4}41x+1 este liniarizare a acestei funcții în punctul x=4. În plus, este și linia tangentă a funcției la punctul x=4.

cum se face aproximarea liniară

amintiți-vă mai devreme am spus că putem folosi ecuația liniei tangente pentru a aproxima valorile funcției lângă a? Să încercăm acest lucru cu liniarizarea pe care am găsit-o mai devreme. Reamintim că,

pentru punctele de lângă x=4. Putem schimba acest lucru într-un liniare de aproximare pentru f(x) prin a spune că:

acum, să spunem că vreau să aproximez f(4.04). Dacă ar fi să conectați acest lucru la funcția originală, atunci veți obține 4.04\sqrt{4.04}4.04 . Acest lucru ar fi foarte greu de calculat fără un calculator., Cu toate acestea, folosind o aproximare liniară, putem spune că

Acum până în prezent, aceste întrebări ne-a dat o funcție și un punct de a lucra cu. Ce se întâmplă dacă nici unul dintre acestea au fost date la toate? Ce se întâmplă dacă întrebarea ne spune doar să estimăm un număr?

folosiți aproximarea liniară pentru a estima un număr

Să presupunem că dorim să estimăm 10 \ sqrt{10}10. Cum am face-o?, Ar trebui să folosim aproximarea liniară

dar nu avem nici măcar o funcție și un punct cu care să lucrăm. Aceasta înseamnă că trebuie să le facem noi înșine. Acest lucru ne conduce să facem următorii pași:

• Pasul 1: creați o funcție
• Pasul 2: creați-litera a
• Pasul 3: Gaseste f(a) și f'(a)
• Pasul 4: Conectați totul în formula de aproximare liniară

  Să urmați pașii!,

întrebarea 2: estimarea 10\sqrt{10}10

• Pasul 1: să vină cu o funcție. Rețineți că suntem estimarea

  

  trebuie să facem cumva o relație între f(x) și 10\sqrt{10}10. Nu putem spune că f(x) = 10\sqrt{10}10 deoarece funcția nu va depinde de x. deci, de ce nu facem asta? Să

  

  Dacă facem asta, atunci suntem practic spune

  

  acum putem spune în mod evident care ar trebui să fie funcția. Să

  

  Deci avem o funcție, dar acum avem nevoie de un punct pentru a lucra cu.,

• pasul 2:

  cheia pentru a găsi valoarea corectă a este luând în considerare două lucruri:

  1) Asigurați-vă că valoarea a este aproape de x

  2) Asigurați-vă că f(a) este un număr frumos.

  ar fi a = 8 suficient? Ei bine, 8 este destul de aproape de 10, deci nu este rău. Cu toate acestea,

  

  Observați că 8\sqrt{8}8 nu este un număr foarte frumos. De fapt, veți obține o grămadă de numere zecimale. Așa că trebuie să încercăm altceva.,

  ar fi a = 9 suficient? Din nou, 9 este destul de aproape de 10, deci este în regulă. De asemenea,

  

  f(a) este de fapt un frumos număr întreg aici, așa că acest lucru funcționează de fapt! Deci alegerea a = 9 este suficientă.

• Pasul 3:

  Rețineți că de mai devreme:

  

  Calculating f'(x) we have again:

  

  So

  

• Step 4:

  Going back to the linear approximation formula we have:

  

  Plugging a, f(a), f'(a), f(x), and x in our formula you will see that:

  

  Hence, we just approximated the number!,dacă doriți mai multe probleme de practică cu privire la aproximarea liniară, atunci vă recomand să vă uitați la acest link aici.

  http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LinearApproximations.aspx

  supraestimați și subestimați

  știm că aproximarea liniară este doar o estimare a valorii funcției la un punct specificat. Cu toate acestea, de unde știm că dacă estimarea noastră este o supraestimare sau o subestimare? Calculăm al doilea derivat și privim concavitatea.,

  Concave up vs Concave down

  dacă a doua derivată a funcției este mai mare decât 0 pentru valorile apropiate de a, atunci funcția este concavă în sus. Acest lucru înseamnă că aproximarea noastră va fi o subestimare. Cu alte cuvinte,

  

  de Ce? Să aruncăm o privire la acest grafic.,

  

  Observați că f(x) este concavă în sus și linia tangentă este chiar sub f(x). Să presupunem că au fost de a utiliza linia tangenta pentru a aproxima f(x). Apoi, valorile Y ale liniei tangente vor fi întotdeauna mai mici decât valoarea reală a lui f(x). Prin urmare, avem o subestimare

  acum, dacă al doilea derivat al funcției este mai mic decât 0 pentru valorile apropiate de a, atunci funcția este concavă în jos., Aceasta înseamnă că aproximarea noastră va fi o supraestimare. Cu alte cuvinte,

  

  din Nou, de ce? Să aruncăm o privire la un alt grafic.

  

  Observați că f(x) este concavă în jos și linia tangentă este chiar deasupra f(x). Din nou, să spunem că vom folosi linia tangentă pentru a aproxima f(x)., Apoi, valorile Y ale liniei tangente vor fi întotdeauna mai mari decât valoarea reală a lui f(x). Prin urmare, avem o supraestimare.

  Deci, dacă aveți vreodată nevoie pentru a vedea dacă valoarea ta este o subestimare sau supraestimare, asigurați-vă că urmați acești pași:

  • Pasul 1: Gaseste cea de-a doua derivate
  • Pasul 2: uita-te la concavitate ale funcției lângă litera a
  • Pas 3: Confirm că este o subestimare/supraestima

  Să aruncăm o privire la un exemplu:

  Întrebarea 3: f(x) = x\sqrt{x}x și a = 4. Dacă liniar aproximativ f (4.,04), ar fi o supraestimare sau o subestimare?

  • Pasul 1: a se Vedea că

    

    Deci a doua derivată este

    

  • Pasul 2:

    Observați că a=4, deci vrem să se uite la valori pozitive ale lui x aproape 4. Acum uită-te la al doilea derivat., Când x este pozitiv, vom vedea că

    

    prin Urmare, este concavă în jos

  • Pasul 3:

    știm că, dacă funcția este concavă în jos, atunci tangenta linie va fi mai sus funcția. Prin urmare, utilizarea liniei tangente ca aproximare va da o valoare supraestimată.

  diferențialele

  nu numai că putem aproxima valorile cu aproximație liniară, dar putem aproxima și cu diferențialele., Pentru a aproxima, vom folosi următoarea formulă

  

  în cazul în care u și dx sunt diferențele, și f'(x) este derivata lui f în termeni de x. Deoarece avem de-a face cu foarte mici modificări în x și y, atunci vom folosi faptul că:

  

  cu toate Acestea, cele mai multe dintre întrebările la care nu implica setarea

  

  folosind aceste fapte ne va conduce să aibă:

  

  Această aproximare este foarte util atunci când aproximarea schimbare de y., Rețineți că atunci nu aveau calculatoare, deci aceasta este cea mai bună aproximare pe care o puteau obține pentru funcții cu rădăcini pătrate sau bușteni naturali.de cele mai multe ori va trebui să căutați singur f'(x) și Δ\DeltaΔx. Cu alte cuvinte, urmați acești pași pentru a aproxima Δ \ DeltaΔy!

  • Pasul 1: Găsiți Δ \ DeltaΔx
  • Pasul 2: Găsiți f ‘ (x)
  • Pasul 3: Conectați totul în formula pentru a găsi dy. dy va fi aproximarea pentru Δ \ DeltaΔy.

  să ne uităm la un exemplu de utilizare a acestei aproximări:

  întrebarea 4: luați în considerare funcția y = ln(x + 1)., Să presupunem că X se schimbă de la 0 la 0.01. Aproximativ Δ \ DeltaΔy.

  • Pasul 1: se Observa ca x se modifică de la 0 la 0.01, deci, o schimbare în x ar fi:

    

  • Pasul 2:

    derivat ar fi:

    

  • Pasul 3:

    Conectarea totul în am:

    

    prin Urmare, Δ\DeltaΔy ≈\cca≈ 0.01

  cu toate Acestea, cele mai multe ori ne dorim să estimăm o valoare a funcției, și nu de schimbare a valorii. Prin urmare, vom adăuga din ambele părți ale ecuației de y, care ne dă:

  

  care este aceeași ca:

  

  această ecuație este puțin greu de citit, așa că o vom rearanja și mai mult. Să încercăm să scăpăm de Y și Δ \ DeltaΔy. Observați că Δ\DeltaΔy+ y este în esență același ca și găsirea valoarea funcției la Δ\DeltaΔx+x. Cu alte cuvinte,

  

  prin Urmare, înlocuind aceasta în apropiere noastre de mai sus ne va da:

  

  în cazul în care f(Δ\DeltaΔx+x) este valoarea pe care încercăm să o estimeze. Cum folosim această formulă? Vă recomandăm să urmați acești pași:

  să folosim acești pași pentru următoarea întrebare.

  Întrebarea 5: folosiți diferențialele pentru a aproxima 10\sqrt{10}10.

  • Pasul 1: comparați f (Δ\DeltaΔx + x) cu 10 \ sqrt{10}10., Since 10\sqrt{10}10 has a square root and 9 is a perfect square that is closest to 10, then let

    

    Notice that:

    

    Vedea că nu există nici o alegere, ci să Δ\DeltaΔx = 1

  • Pasul 2:

    a se Vedea că derivat dă:

    

    Deci, acest lucru implică

    

  • Pasul 3:

    Conectarea totul în formulă ne dă:

    

    prin urmare, am aproximat doar numărul.un lucru interesant de observat este că aproximarea liniară și diferențialele dau același rezultat pentru 10\sqrt{10}10.,

    Dacă doriți să aflați mai multe despre diferențele, faceți clic pe acest link:

    http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LinearApproximations.aspx

    Dovedindu-Am’Hospital e Regula folosind aproximare liniară

    Acum am învățat o mulțime de lucruri despre aproximare liniară, dar ce altceva putem face cu ea? Putem folosi de fapt formula de aproximare liniară pentru a dovedi o regulă cunoscută sub numele de regula l ‘ Hospital lui . Iată cum funcționează dovada.

    Amintiți-vă că liniare formula de aproximare este:

    

    a se Vedea că putem rearanja formula astfel încât:

    

    dai Seama că aproximare devine mai mult și mai precis ca vom alege x valorile care sunt mai aproape de un. Cu alte cuvinte, dacă vom lua limita când x→a, atunci ei vor egale. Deci,

    

    

    Acum, observați că putem aplica formula de la care am derivat mai devreme aici. Deci, acum,

    

    Acum, în loc de a scrie f'(o) și g'(o), putem aplica limite ca x→a (pentru că știm că f și g sunt derivabile)., Deci,

    

    prin Urmare, am arătat că:

    

    care este L’Hospital e Regula .

    când să folosim regula l ‘hopital

    întotdeauna dorim să aplicăm regula l’ optial atunci când întâlnim limite nedeterminate. Există două tipuri de forme nedeterminate., Aceste nedeterminată forme ar fi:

    

    O mulțime de oameni fac greseala de a folosi regula lui l ‘ hopital, fără să verifice dacă este o perioadă nedeterminată de limită. Deci, asigurați-vă că îl verificați mai întâi! În caz contrar, nu va funcționa și veți primi un răspuns greșit. Iată un ghid pentru utilizarea regulii l ‘ hopital:

    • Pasul 1: Evaluați limita direct.
    • Pasul 2: Verificați dacă este una dintre formele nedeterminate. Dacă este, mergeți la Pasul 3.,
    • Pasul 3: utilizați regula l ‘ hopital lui.
    • Pasul 4: Verificați dacă primiți un alt formular nedeterminat. Repetați Pasul 3 dacă faceți acest lucru.

    Să aruncăm o privire la câteva exemple folosind acești pași.

    Întrebarea 6: Evaluarea limita

    

    • Pasul 1: Evaluarea limită direct ne dă

      

    • Pasul 2:

      Da, este una dintre cele nedeterminată forme.

    • Pasul 3:

      Aplică regula lui l ‘ hopital avem:

      

    • Pasul 4:

      nu este o formă nedeterminată, așa că am sunt de făcut, iar răspunsul este 1.

    acum, această întrebare a fost un pic mai ușor, așa că de ce nu aruncăm o privire la ceva care este un pic mai greu.,

    Întrebarea 7: Evaluarea limita

    

    • Pasul 1: Evaluarea limită direct, vom vedea că:

      

    • pasul 2:

      aceasta este o formă nedeterminată, deci mergeți la Pasul 3.,

    • Pasul 3:

      Aplică regula lui l ‘ hopital avem

      

    • Pasul 4:

      Aceasta este o altă formă nedeterminată. Așa că trebuie să ne întoarcem la Pasul 3 și să aplicăm din nou regulile lui l ‘ optial.

    • Pasul 3:

      Aplică regula lui l ‘ hopital din nou, avem:

      

    • Pasul 4:

      Infinit nu este o formă nedeterminată, așa că am sunt de făcut, iar răspunsul este ∞\infty∞