Ramanujan vonwegen

Eine Schachtel Manuskripte und drei Notizbücher., Das ist alles, was übrig gebliebendie Arbeit von Srinivasa Ramanujan, einem indischen Mathematiker, der sein bemerkenswertes, aber kurzes Leben zu Beginn des siebzigsten Jahrhunderts lebte. Doch dieser kleine Vorrat an mathematischem Vermächtnis überrascht immer noch. Zwei Mathematiker der Emory University, KenOno und Sarah Trebat-Leder,haben kürzlich eine faszinierende Entdeckung auf ihren vergilbten Seiten gemacht. Es zeigt, dass Ramanujan seiner Zeit weiter voraus war, als irgendjemand erwartet hatte, und stellt eine schöne Verbindung zwischen mehreren Meilensteinen in der Geschichte der Telematik her. Und alles geht auf die harmlos aussehende Nummer 1729 zurück.,

Ramanujans Geschichte ist ebenso inspirierend wie tragisch. Geboren 1887 in einem kleinen Dorf rund 400 km vonmadras (jetzt Chennai), entwickelte Ramanujan in jungen Jahren eine Leidenschaft für Mathematik, musste sie aber meist alleine und in Armut verfolgen. Bis er 1913 beschloss, Aletter an den berühmten Cambridge-Zahlentheoretiker G. H. Hardy zu schreiben. Gewöhnt an diese frühe Form von Spam, Hardy könnte für den Versand des hochunorthodoxen Briefes direkt in den Papierkorb gegeben worden sein. Als er das Genie des Autors erkannte, lud Hardy Ramanujan nach Cambridge ein,wo er 1914 ankam., In den folgenden Jahren, Ramanujan morethan zurückgezahlt Hardy ‚ s Glauben an sein Talent, aber erlitt Gesundheit, teilweise, aufgrund dergrizzly Englisch Klima und Essen. Ramanujan kehrte 1919, noch schwach, nach Indien zurück und starb im darauffolgenden Jahr im Alter von nur 32 Jahren. Hardy beschrieb später seine Zusammenarbeit mitramanujan als“der einzige romantische Vorfall in meinem Leben“.

Die Taxi-Taxi-Nummer

Die Romantik rieb sich an der Nummer 1729 ab, die in der Hardy-Ramanujan-Geschichte eine zentrale Rolle spielt. „Ich erinnere mich, dass ich einmal sehen wollte, als er in Putney krank war“, schrieb Hardy später., „Ich war in Taxicab Nummer 1729 gefahren und bemerkte, dass die Nummer mir eher adull erschien und dass ich hoffte, dass es kein ungünstiges Omen war. „Nein“, sagt er, “ es ist eine sehr interessante Zahl, es ist die kleinste Zahl, die man als Summe zweier Würfel auf zwei verschiedene Arten ausdrücken kann.,'“ WhatRamanujan gemeint ist, dass

Die Anekdote gewonnen, die Zahl 1729 fame in mathematischen Kreisen, aber untilrecently Menschen glaubten, seine merkwürdige Eigenschaft war nur ein weiterer randomfact Ramanujan trug etwa in seinem Gehirn — ähnlich wie ein Zug spotterremembers Zug Ankunft Zeiten. Was Ono und Trebat-Leder jedoch entdeckten, war, dass es nur die Spitze eines Eisbergs war., In der Wirklichkeitramanujan war damit beschäftigt, eine Theorie zu entwickeln, die seiner Zeit mehrere Jahrzehnte voraus war und Ergebnisse liefert, die für Mathematiker auch heute noch interessant sind. Er hat einfach nicht lange genug gelebt, um es zu veröffentlichen.

Die Entdeckung kam, als Ono und sein Mathematikerkollege Andrew Granville Ramanujans Manuskripte durchsuchten, die in der Wren Library Attinity College, Cambridge aufbewahrt wurden. „Wir saßen direkt neben dem Schreibtisch des Bibliothekars und blätterten Seite für Seite durch die Ramanujan-Box“, erinnert sich Ono. „Wir sind auf diese eine Seite gestoßen, auf der die beiden Darstellungen von 1729 standen ., Wir fingen sofort an zu lachen.“

Fermat ‚ s last theorem und Beinaheunfälle

or

or

and so on.,

1637 behauptete der französische Mathematiker Pierrede Fermat zuversichtlich, dass die Antwort nein sei., Wenn ist eine ganze Zahl, die größer als dann gibt es keine positive ganze Zahl verdreifacht und , so dass

Fermat kritzelte an den Rand einer Seite in einem Buch, das er hatte „vor ein wahrhaft wunderbaren Beweis dafür, das dieser Rand ist zu schmal, zu enthalten“., Natürlich war diese Behauptung für Mathematiker, die sich später über 350 Jahre lang verrückt machten, wie eine Katzenminze und versuchten, diesen „wirklich wunderbaren Beweis“zu finden.,d=“4bd8a19d94“>

oder

Da jede positive ganze Zahl, die die Gleichung erfüllt, die Behauptung von Fermat (dass es keine solchen Verdreifachungen gibt) falsch machen würde, Ramanujan hatte eine unendliche Familie von Beinaheunfällen von Gegenbeispielen zu Fermats letztem Satz festgehalten.,

„Keiner von uns hatte eine Ahnung, dass Ramanujan über irgendetwas nachdachte, das mit Fermats letztem Satz zusammenhängt“, sagt Ono. „Aber hier auf einer Seite, die mir ins Gesicht starrte, gab es unendlich viele Gegenbeispiele dazu, zwei, die zufällig mit 1729 zusammenhängen. Wir waren auf dem Boden.“Auch heute noch, fast 400 Jahre nach Fermats Behauptung und 20 Jahre nach seiner Auflösung, wissen nur eine Handvoll Mathematiker von derFamilie Ramanujan, die sich Ramanujan ausgedacht hatte. „Ich bin ein Ramanujan-Gelehrter und mir dessen nicht bewusst“, sagt Ono. „Im Grunde wusste es niemand.“

Elliptische Kurven und Klettern K3.

Aber das ist nicht alles., Als Ono und seine Doktorandin SarahTrebat-Leder beschlossen, weiter zu untersuchen, und sich andere Seiten Inramanujans Arbeit ansahen, stellten sie fest, dass er eine ausgeklügelte entwickelt hatmathematische Theorie, die über alles hinausging, was die Leute vermutet hatten. „Sarah und ich verbrachte Zeit tiefer darüber nachzudenken, was Ramanujan hadreally getan, und es stellt sich heraus, dass er mathematische erwartet 30 oder 40 Jahre, bevor jemand wusste, dass dieses Feld existieren würde. Das ist es, worüber wir aufgeregt sind.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Wenn Sie die Punkte zeichnen, die eine solche Gleichung erfüllen (für gegebene Werte von und ), erhalten Sie eine Form namens elliptische Kurve (die genaue Definition ist etwas mehrbeteiligt, siehe hier). Ellipticcurves spielte eine wichtige Rolle beim späteren Beweis von Fermats letztem Satz,der in den 1990er Jahren vom Mathematiker Andre Giles geliefert wurde.

Ono und Trebat-Leder fanden heraus, dass Ramanujan sich auch mit der Geschichte der elliptischen Kurven befasst hatte., Er antizipierte nicht den Weg vonwiles, sondern entdeckte ein Objekt, das komplizierter ist als elliptische Kurven. Bei der Wiederentdeckung von Objekten dieser Art wurden sie etwa vierzig Jahre später mit dem Namen K3 surfaces — zu Ehren der Mathematiker ErnstKummer, ErichKähler und KunihikoKodaira-geschmückt, und der Berg K2, der so schwer zu besteigen ist wie K3surfaces, ist mathematisch schwer zu handhaben.

Dass Ramanujan eine äußerst komplizierte K3-Oberfläche hätte entdecken und verstehen sollen, ist an sich bemerkenswert., Aber seine Arbeit an der Oberfläche bot auch Ono und Trebat-Leder ein unerwartetes Geschenk, das mit elliptischen Kurven verbunden ist. Wie alle Gleichungen, jede elliptische Kurve Gleichung

schreit natürlich nach Lösungen: Zahlenpaare , die die Gleichung erfüllen., Im Geiste von Fermat könnten Sie nach Lösungen für ganze Zahlen suchen, aber Zahlentheoretiker geben sich normalerweise etwas mehr Spielraum. Sie suchen nach Lösungen, die rationale Zahlen sind, dh Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können.

Im vergangenen Jahr gewann der Mathematiker Manjul Bhargava 2014 die Fields Medal, eine der höchsten Auszeichnungen in Mathematik, für große Fortschritte in diesem Zusammenhang. Bhargavash sagte, dass die meisten elliptischen Kurven in eine von zwei besonders einfachen Klassen fallen. Entweder gibt es nur endlich viele rationale Zahlenlösungen; oder es gibt unendlich viele, aber es gibt ein Rezept, das alle von ihnen aus nur einer einzigen rationalen Zahlenlösung produziert. (Sie können unser Interview mit Bhargava und unseren Artikel über einige seiner Arbeiten lesen.,)

Wenn Sie alle elliptischen Kurven systematisch durchsehen, indem Sie sie beispielsweise nach der Größe der Konstanten und ordnen, die in ihren Formeln erscheinen, werden Sie höchstwahrscheinlich nur auf diese „einfachen“ elliptischen Kurven stoßen. Die Wahrscheinlichkeit, eine kompliziertere zu finden, die zwei oder drei Lösungen erfordert, um sie alle zu generieren, ist Null. Die systematische Suche nach solchen elliptischen Kurven ist wie die Suche nach einem Heuhaufen nach einer Nadel auf eine Weise, die garantiert, dass die Nadel immer durch das Netz rutscht., Um diese komplizierteren elliptischen Kurven zu erreichen, benötigen Sie eine andere Methode.

Und genau das hat sich Ramanujan ausgedacht. Seine Arbeit an der von ihm wiederentdeckten K3-Oberfläche lieferte Ono und Trebat-Leder eine Methode, um nicht nur eine, sondern unendlich viele elliptische Kurven zu erzeugen, die zwei oder drei Lösungen erfordern, um alle anderen zu erzeugenlösungen. Es ist nicht die erste Methode, die gefunden wurde, aber es erforderte keinen Aufwand. „Wir haben den Weltrekord geknackt, aber schweres Heben mussten wir nicht machen“, sagt Ono. „Wir haben so gut wie nichts, außer zu erkennen, was Ramanujan getan hat.,“

Physik und extra Dimensionen

Es gibt eine weitere interessante Wendung zu dieser Geschichte. Während Ramanujanwurde in den abstrakten Bereichen der Zahlentheorie gearbeitet, Physiker, die reale Phänomene studierten, begannen, die Theorie der Quantenmechanik zu entwickeln. Obwohl ein eigenständiger Triumph, wurde bald klardass die resultierende Quantenphysik auf unvorhersehbare Weise mit bestehenden physikalischen Theorien kollidierte. Der Riss ist immer noch nicht geheilt und stellt das größte Problem der Physik des einundzwanzigsten Jahrhunderts dar (siehe hier, um mehr zu erfahren)., Ein Versuch, die Situation zu retten, war die in den 1960er Jahren begonnene Entwicklung der Stringtheorie, einer Primzahl für eine „Theorie von allem“, die die unterschiedlichen Strandender modernen Physik vereint.

Eine merkwürdige Vorhersage der Stringtheorie ist, dass die Welt, in der wir leben, aus mehr als den drei räumlichen Dimensionen besteht, die wir sehen können. Die äußeren Dimensionen, die wir nicht sehen können, werden in winzig kleinen Räumen aufgerollt, die für uns zu klein sind, um sie wahrzunehmen., Die Theorie besagt, dass diese winzigen kleinen Räume eine bestimmte geometrische Struktur haben. Es gibt eine Klasse von geometrischen Objekten, genanntcalabi-Yau-Manifolds, die der Rechnung entspricht (siehe diesen Artikel, um mehr zu erfahren). Und eine der einfachsten Klassen von Calabi-Yau-Verteilern kommt von, warte darauf, K3-Oberflächen, die Ramanujan als erste entdeckte. Von dieser Entwicklung hätte Ramanujan natürlich nie träumen können. „Er war ein whiz mit Formeln und ich denke, diese in der Nähe von Gegenbeispielen Fermat‘ slast Theorem zu konstruieren.“sagt Ono., „Also entwickelte er eine Theorie, um diese zu findenjahre, ohne zu erkennen, dass die Maschine,die er baute, diese Formeln, die er aufschrieb, für jeden nützlich sein würden, jemals, in der Zukunft.“

Ono schließt nicht aus, dass Ramanujans Manuskripte weitere verborgene Schätze enthalten. „Ich kenne 1729 seit dreißig Jahren. Es ist eine schöne, romantische Nummer. Ramanujan war ein Genie und wir sind es immer nochlernen Sie, inwieweit seine Kreativität ihn zu seinem Erfolg geführt hatformulas. Seine Arbeit beläuft sich auf eine Schachtel, die am Trinity College aufbewahrt wird, unddrei Notizbücher, die an der Universität von Madras aufbewahrt werden. Das ist nicht viel., Es ist verrückt, dass wir immer noch herausfinden, was er vorhatte. Wann wird es enden?“

Weiterlesen

Sie können mehr über die Arbeit von Ramanujan in einer verschwindenden Zahl lesen. Für Experten ist das Papier von Ono und Trebat-Leder hier verfügbar.

Über diesen Artikel

KenOno ist Asa Griggs Candler Professor für Mathematik und informatik an der Emory University.

Sarah Trebat-Leder ist Doktorandin bei Emory, wo sie Woodruff Fellow und NSF Graduate Fellow ist.

Marianne Freiberger ist Redakteurin von Plus. Im Oktober 2015 interviewte sie Ono und Trebat-Leder.