Black-Scholes-Formel

Nach dem Black-Scholes-Optionspreismodell (dessen Merton-Erweiterung, die Dividenden ausmacht) gibt es sechs Parameter, die sich auf die Optionspreise auswirken:

S0 = zugrunde liegender Preis ($$$ pro Aktie)

X = Ausübungspreis ($$$ pro Aktie)

σ = Volatilität (% p. a.)

r = kontinuierlich zusammengesetzter risikofreier Zinssatz (% p. a.)

q = kontinuierlich zusammengesetzter Dividendenrendite (% p. a.,)

t = Zeit bis zum Verfall (in % des Jahres)

Hinweis: In vielen Ressourcen finden Sie verschiedene Symbole, die für einige dieser Parameter. Zum Beispiel wird der Ausübungspreis oft mit K bezeichnet (hier verwende ich X), der zugrunde liegende Preis wird oft mit S bezeichnet (ohne die Null), und die Zeit bis zum Ablauf wird oft mit T – t bezeichnet (Differenz zwischen Ablauf und Jetzt). Im ursprünglichen Black and Scholes Paper (The Pricing of Options and Corporate Liabilities, 1973) wurden die Parameter x (Basiswert), c (Ausübungspreis), v (Volatilität), r (Zinssatz) und t* – t (time to expiration) bezeichnet., Dividendenrendite wurde nur Hinzugefügt von Merton in der Theorie of Rational Option Pricing, 1973.

Call-und Put-Optionspreis Formeln

Call-option (C) und put option (P) Preise sind anhand der folgenden Formeln berechnet:

… wobei N(x) ist die standardmäßige normale kumulative Verteilung Funktion.

Die Formeln für d1 und d2 sind:

Ursprüngliche Black-Scholes vs., Mertons Formeln

Im ursprünglichen Black-Scholes-Modell, das keine Dividenden berücksichtigt, sind die Gleichungen die gleichen wie oben, außer:

  • Es gibt nur S0 anstelle von S0 e-qt
  • Es gibt kein q in der Formel für d1

Wenn die Dividendenrendite Null ist, ist e-qt = 1 und die Modelle sind identisch.

Black-Scholes-Formeln für Optionsgriechen

Nachfolgend finden Sie Formeln für die am häufigsten verwendeten Optionsgriechen. Einige der Griechen (gamma und vega) sind die gleichen für Anrufe und puts. Andere Griechen (Delta, Theta und Rho) sind unterschiedlich., Unterschiede zwischen den griechischen Formeln für Anrufe und Puts sind oft sehr klein – in der Regel ein Minuszeichen hier und da. Es ist sehr einfach, einen Fehler zu machen.

In mehreren Formeln können Sie den Begriff sehen:

… das ist die Standardfunktion für normale Wahrscheinlichkeitsdichte.,

Delta

Gamma

Theta

… wobei T die Anzahl der Tage pro Jahr ist (Kalender-oder Handelstage, je nachdem, was Sie verwenden).,

Vega

Rho

Black-Scholes Formeln in Excel

Alle diese Formeln für Optionspreise und Griechen sind relativ einfach in Excel zu implementieren (die fortschrittlichsten Funktionen, die Sie benötigen, sind NORM.DIST, EXP und LN). Sie können mit dem Black-Scholes Excel-Tutorial fortfahren, in dem ich die Excel-Berechnungen Schritt für Schritt demonstriert habe (der erste Teil ist für Optionspreise, der zweite Teil für Griechen).

Oder Sie erhalten einen vorgefertigten Black-Scholes Excel-Rechner.,