Ramanujan sorprende de nuevo

Una caja de manuscritos y tres cuadernos., Eso es todo lo que queda del trabajo de Srinivasa Ramanujan, un matemático indio que vivió su notable pero corta vida alrededor del comienzo del siglo XXI. Sin embargo, ese pequeño alijo de legado matemático stillyields sorprende. Dos matemáticos de la Universidad de Emory, KenOno y Sarah Trebat-Leder, han hecho recientemente un descubrimiento fascinante dentro de sus páginas amarillentas. Muestra que Ramanujan estaba más adelantado a su tiempo de lo que nadie había esperado, y proporciona un vínculo hermoso entre varios hitos en la historia de la matemática. Y todo se remonta al inocuo número 1729.,

La historia de Ramanujan es tan inspiradora como trágica. Nacido en 1887 en un pequeño pueblo de alrededor de 400 km fromMadras (ahora Chennai), Ramanujan desarrolló una pasión por las matemáticas a una edad temprana, pero tuvo que perseguir sobre todo solo y en la pobreza. Hasta que, en 1913, decidió escribir una carta al famoso teórico de números de Cambridge G. H. Hardy. Habituado a esta forma temprana de spam, Hardy podría haber sido olvidado para enviar la letra highly unorthodox directamente a la papelera. Reconociendo el genio del autor, Hardy invitó a Ramanujan a Cambridge,donde llegó en 1914., Durante los años siguientes, Ramanujan morethan devolvió la fe de Hardy en su talento, pero sufrió una mala salud debido, en parte,al clima y la comida ingleses. Ramanujan regresó a la India en 1919, todavía débil, y murió el año siguiente, con solo 32 años. Hardy más tarde describió su colaboración conramanujan como «el único incidente romántico en mi vida».

El número de taxi-taxi

El Romanticismo se desprendió del número 1729, que desempeña un papel central en la historia de Hardy-Ramanujan. «Recuerdo una vez ir a ver cuando estaba enfermo en Putney,» Hardy escribió más tarde., «Había montado en el taxi número 1729 y remarcé que el número me parecía bastante elegante, y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. ‘No’, aquí replicado, ‘ es un número muy interesante; es el número más pequeñoexpresable como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes.,'» WhatRamanujan quiere decir es que el

La anécdota obtenido el número 1729 fama en los círculos matemáticos, pero untilrecently la gente creía su curiosa propiedad era otro randomfact Ramanujan lleva en su cerebro se parece mucho a un tren spotterremembers llegada del tren de veces. Lo que el descubrimiento de Tre y Trebat-Leder muestra, sin embargo, es que era solo la punta de un berg de hielo., En realidad, aramanujan había estado ocupado desarrollando una teoría que fue de varias décadas ahead de su tiempo y produce resultados que son interesantes para los matemáticos incluso hoy en día. No vivió lo suficiente para publicarlo.

el descubrimiento se produjo cuando Andrew y su compañero matemático Andrew Granville estaban revisando los manuscritos de Ramanujan, conservados en la Biblioteca Wren en eltrinity College de Cambridge. «Estábamos sentados justo al lado del escritorio de thelibrarian, volteando página por página a través de la caja de Ramanujan», recuerda on. «Nos encontramos con esta página que tenía sobre ella las dos representaciones de 1729 ., Empezamos a reír inmediatamente.»

El último teorema de Fermat y casi misses

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and so on.,

en 1637 el matemático francés Pierrede Fermat afirmó con confianza que la respuesta es no., Si es un número entero mayor que entonces no hay ningún número entero positivo triples y tales que

Fermat escribió en el margen de una página de un libro que tenía «descubierto una verdad maravillosa prueba de ello, que este margen es demasiado estrecho para contener»., Naturalmente, esta afirmación fue como hierba gatera para los matemáticos, que posteriormente se volvieron locos, durante más de 350 años, tratando de encontrar esta «prueba verdaderamente maravillosa».,d=»4bd8a19d94″>

o

a partir de cualquier número entero positivo triple satisfacer la ecuación haría de Fermat afirmación (que no hay ningún tipo triples) falso, Ramanujan tenía arrinconado, una familia infinita de cerca-se pierde de lo que sería contra-ejemplos a último teorema de Fermat.,

«ninguno de nosotros tenía idea de que Ramanujan estaba pensando en algo relacionado con el último teorema de Fermat», dice on. «Pero aquí en una página, staringus en la cara, eran infinitamente muchos contra-ejemplos cercanos a ella, dos de los cuales happento estar relacionado con 1729. Estábamos anonadados.»Incluso hoy, casi 400 años después de la afirmación de Fermat y 20 años después de su resolución, solo un puñado de matemáticos incluso saben acerca de la familia Ramanujan había llegado con. «Soy un erudito de Ramanujan y no era consciente de ello», dice on. «Básicamente, nadie lo sabía.»

curvas elípticas y escalada K3.

pero esto no es todo., Cuando Sar y su estudiante de posgrado SarahTrebat-Leder decidieron investigar más a fondo, mirando otras páginas en el trabajo de Ramanujan, encontraron que había desarrollado una teoría matemática sofisticada que iba más allá de cualquier cosa que la gente había sospechado. «Sarah y yo pasamos tiempo pensando más profundamente sobre lo que Ramanujan había hecho realmente, y resulta que él anticipó matemáticas 30 o 40 años antes de que alguien supiera que este campo existiría. Eso es lo que nos excita.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Si se trazan los puntos que satisfacen tal ecuación (para valores dados de y ) en un sistema de coordenadas, se obtiene una forma llamada curva elíptica (la definición precisa es ligeramente másinvolved, ver aquí). Las curvas elípticas jugaron un papel importante en la eventual prueba del último teorema de Fermat,que fue entregado en la década de 1990 por el matemático AndrewWiles.

Tre y Trebat-Leder encontraron que Ramanujan también había profundizado en la teoría de las curvas elípticas., No anticipó el camino tomado por los cables, sino que descubrió un objeto que es más complicado que las curvas elípticas. Cuando los objetos de este tipo fueron redescubiertos alrededor de Forty años más tarde fueron adornados con el nombre de superficies k3 — en honor de los matemáticos ErnstKummer, ErichKähler y KunihikoKodaira, y la montaña K2, que es tan difícil de escalar como las superficies K3 son difíciles de manejar matemáticamente.

que Ramanujan debería haber descubierto y comprendido una superficie K3 extremadamente complicada es en sí misma notable., Pero su trabajo en la superficie también proporcionó un regalo inesperado a tre y Trebat-Leder, que se vincula a las curvas elípticas. Como todas las ecuaciones, cualquier curva elíptica ecuación

naturalmente clama por soluciones: pares de números que satisfacen la ecuación., En el espíritu de Fermat, podrías buscar soluciones de números enteros, pero los teóricos de los números generalmente se dan un poco más de margen. Buscan soluciones que sean números racionales, es decir, números que puedan escribirse como fracciones.

el año pasado, en 2014, el matemático Manjul Bhargava ganó la Medalla Fields, uno de los highesthonours en matemáticas, por un gran progreso en este contexto. Bhargavashowed que la mayoría de las curvas elípticas caen en una de dos clases particularmente simples. O solo hay finitamente muchas soluciones de números racionales; o hay infinitamente muchas, pero hay una receta que produce todas ellas a partir de una sola solución de números racionales. (Puedes leer nuestra entrevista con Bhargava y nuestro artículo explorando algunos de sus trabajos.,)

si tamiza todas las curvas elípticas de manera sistemática, por ejemplo ordenándolas de acuerdo con el tamaño de las constantes y que aparecen en sus fórmulas, lo más probable es que solo se encuentre con estas curvas elípticas «simples». La probabilidad de encontrar una más complicada, que requiere dos o tres soluciones para generarlas todas, es cero. Buscar tales curvas elípticas sistemáticamente es como buscar una aguja en un pajar de una manera que garantice que la aguja siempre se deslice a través de la red., Para llegar a esas curvas elípticas más complicadas, necesita otro método.

y esto es exactamente lo que Ramanujan se le ocurrió. Su trabajo en la superficie K3 hediscovered proporcionó a tre y Trebat-Leder un método para producir, no solo una, sino infinitamente muchas curvas elípticas que requieren dos o tres soluciones para generar todas las demás soluciones. No es el primer método que se ha encontrado, pero no requiere esfuerzo. «Empatamos el récord mundial en el problema, pero no teníamos que hacer ningún trabajo pesado», dice on. «No hicimos casi nada, excepto reconocer lo que hizo Ramanujan.,»

Physics and extra dimensions

Hay otro giro interesante en esta historia. Mientras Ramanujan trabajaba en los reinos abstractos de la teoría de números, los físicos que estudiaban los fenómenos del mundo real comenzaron a desarrollar la teoría de la mecánica cuántica. Aunque un triunfo en sí mismo, pronto se hizo evidente que la física cuántica resultante chocó con las teorías físicas existentes de una manera irredimible. La grieta aún no ha sido sanada y presenta el mayor problema de la física del siglo XXI (vea aquí para obtener más información)., Un intento de rescatar la situación fue eldesarrollo, iniciado en la década de 1960, de la teoría de cuerdas, un primer candidato para una «teoría del todo» que unía las diferentes tendencias de la física moderna.

una predicción curiosa de la teoría de cuerdas es que el mundo en el que vivimos no comprende más de las tres dimensiones espaciales que podemos ver. Las dimensiones extra, las que no podemos ver, están enrolladas en pequeños espacios demasiado pequeños para que nosotros los percibamos., La teoríadicta que esos pequeños espacios tienen una estructura geométrica particular. Hay una clase de objetos geométricos, llamados colectores Calabi-Yau, que se ajusta a la ley (consulte este artículo para obtener más información). Y una de las clases más simples de variedades de Calabi-Yau proviene de, Espere,superficies K3, que Ramanujan fue el PRIMERO en descubrir.

Ramanujan nunca podría haber soñado con este desarrollo, por supuesto. «Él era un genio con las fórmulas y creo que para construir los casi contraejemplos de Fermat’s teorema de la última.»dice Ono., «Así que desarrolló una teoría para encontrar estos errores, sin reconocer que la máquina que estaba construyendo, esas fórmulas que estaba escribiendo,serían útiles para cualquiera, nunca, en el futuro.»

ON no descarta que los manuscritos de Ramanujan contengan más tesoros ocultos. «Conozco 1729 desde hace treinta años. Es un número encantador y romántico. Ramanujan era un genio y todavía estamos aprendiendo sobre la medida en que su creatividad lo llevó a susformulas. Su trabajo equivale a una caja, guardada en el Trinity College, y tres cuadernos, guardados en la Universidad de Madras. Eso no es mucho., Es una locura que todavía estemos averiguando lo que tenía en mente. ¿Cuándo va a terminar?»

más información

puede leer más sobre el trabajo de Ramanujan en un número que desaparece. Para los expertos, el artículo de Tre y Trebat-Leder está disponible aquí.

acerca de este artículo

KenOno es profesor Asa Griggs Candler de Matemáticas e Informática en la Universidad de Emory.

Sarah Trebat-Leder es estudiante de doctorado en Emory, donde es becaria Woodruff y becaria graduada de la NSF.

Marianne Freiberger es editora de Plus. Entrevistó a tre y Trebat-Leder en octubre de 2015.