Ramanujan do manuscrito. As representações de 1729 como a soma de dois cubos aparecem no canto inferior direito. The equation expressing the near counter examples to Fermat’s last theorem appears further up: α3 + β3 = γ3 + (-1)n. Image courtesy Trinity College library. Clique aqui para ver uma imagem maior.
uma caixa de manuscritos e três Cadernos., É tudo o que resta do Trabalho de Srinivasa Ramanujan, um matemático indiano que viveu a sua vida notável, mas curta, no início do século XX. No entanto, esse pequeno stock de legado matemático ainda surpreende. Dois matemáticos da Universidade Emory, KenOno e Sarah Trebat-Leder,fizeram recentemente uma descoberta fascinante nas suas páginas amareladas. Ele mostra que Ramanujan estava mais à frente de seu tempo do que qualquer um tinha esperado, e fornece uma bela ligação entre vários marcos na história da matemática. E tudo remonta ao inócuo número 1729.,a história de Ramanujan é tão inspiradora quanto trágica. Nascido em 1887 em uma pequena aldeia a cerca de 400 km fromMadras (agora Chennai), Ramanujan desenvolveu uma paixão pela matemática em uma idade jovem, mas tinha a persegui-lo, principalmente sozinho e na pobreza. Até 1913, ele decidiu escrever aletter para o famoso teórico dos números de Cambridge G. H. Hardy. Acostumado a esta forma inicial de spam, Hardy pode ter sido forçado a enviar a carta de alto nível para o lixo. Mas hedidn não. reconhecendo o gênio do autor, Hardy convidou Ramanujan para Cambridge,onde ele chegou em 1914., Ao longo dos anos seguintes, Ramanujan morethan retribuiu a fé de Hardy em seu talento, mas sofreu problemas de saúde devido, em parte, ao clima e comida inglês. Ramanujan retornou à Índia em 1919, ainda fraco, e morreu no ano seguinte, com apenas 32 anos. Hardy mais tarde descreveu sua colaboração comramanujan como “o único incidente romântico na minha vida”.
o número taxi-cab
o romantismo se refletiu no número 1729, que desempenha um papel central na história de Hardy-Ramanujan. “Lembro-me de uma vez ir ver quando ele estava doente em Putney”, escreveu Hardy mais tarde., “Eu tinha cavalgado no taxicab número 1729 e comentou que o número parecia-me um tanto adull um, e que eu esperava que não era um presságio desfavorável. “Não”, hereplied, ” é um número muito interessante; é o menor numerexpresível como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes.,'” WhatRamanujan quis dizer é que,
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A anedota ganhou o número 1729 fama nos círculos matemáticos, mas untilrecently pessoas acreditaram em sua curiosa propriedade era apenas outro randomfact Ramanujan levadas em seu cérebro — bem como um trem spotterremembers chegada do comboio vezes. O que os descobridores de Ono e Trebat-Leder, no entanto, é que era apenas a ponta de um iceberg., Em realityRamanujan tinha sido ocupado o desenvolvimento de uma teoria que foi várias décadas aheadof seu tempo e produz resultados que são interessantes para os matemáticos até hoje. Só não viveu o suficiente para o publicar.
A descoberta veio quando Ono e seu colega matemático Andrew Granville foram pavimentados através dos manuscritos de Ramanujan, mantidos no Wren Library atTrinity College, Cambridge. “Estávamos sentados ao lado da secretária do thelibrarian, folheando páginas de pageth através da caixa Ramanujan”, lembra Ono. “Deparámo-nos com esta página que tinha nela as duas representações de 1729 ., Começámos a rir imediatamente.”
Fermat’s last theorem and near misses
Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920).
Ono e Granville avistaram o famoso número, embora ele próprio tenha aparecido na página. Ramanujan tinha apenas escrito a equação mas o que encantou os dois matemáticos mais do que a obtenção do famoso número disfarçado foi outra equação aparecendo na mesma página., Ele mostrou claramente que Ramanujan estava trabalhando em um problema que se tornou notório no século XVII e cuja solução, na década de 1990, foi uma grande sensação matemática. É conhecido como o último teorema de Fermat.
O problema, como tantos problemas na teoria dos números, é fácil de entender.,ngle has sides of lengths and with being the longest side, then the three lengths satisfy the equation
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There are infinitely triples of positive whole numbers and which satisfy this relationship.,58″>
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and so on., em 1637, o matemático francês Pierrede Fermat afirmou com confiança que a resposta é não., Se é um número inteiro maior que então não há número inteiro positivo triplos e tais que
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de Fermat escreveu na margem de uma página em um livro que ele tinha “descobriu verdadeiramente maravilhosa prova disso, que esta margem é muito estreita para conter”., Naturalmente, esta afirmação foi como um catnip para os matemáticos, que posteriormente enlouqueceram, por mais de 350 anos, tentando encontrar esta “prova verdadeiramente maravilhosa”.,d=”4bd8a19d94″>
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uma vez que qualquer número inteiro positivo triplo satisfazer a equação tornaria Fermat afirmação (que não existem tais triplos) falsa, Ramanujan tinha preso um infinito família de quase-acidentes do que seria contra-exemplos para o último teorema de Fermat.,
“nenhum de nós tinha idéia de que Ramanujan estava pensando sobre qualquer coisa relacionada ao último teorema de Fermat”, diz Ono. “Mas aqui em uma página, “staringus in the face”, foram infinitamente muitos contra-exemplos disso, dois dos quais foram relacionados a 1729. Fomos arrasados.”Ainda hoje, cerca de 400 anos após a reivindicação de Fermat e 20 anos após a sua resolução, apenas um punhado de matemáticos sabia da família Ramanujan. “Eu sou um estudioso Ramanujan e eu não estava ciente disso”, diz Ono. “Basicamente, ninguém sabia.”
curvas elípticas e Escalada K3.mas isto não é tudo., Quando Ono e seu estudante de pós-graduação SarahTrebat-Leder decidiram investigar mais, olhando para outras páginas do trabalho de inRamanujan, eles descobriram que ele tinha desenvolvido uma teoria matemática sofisticada que ia além de qualquer coisa que as pessoas tinham suspeitado. “Sarah e eu passamos o tempo pensando mais profundamente sobre o que Ramanujan tinha feito, e acontece que ele antecipou o matemático 30 ou 40 anos antes que alguém soubesse que este campo existiria. É sobre isso que estamos excitados.,uations of the form
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it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form
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where and are constants., Se você plotar os pontos que satisfazer a equação (para um determinado valor de e ) em um sistema de coordenadas, você obter uma forma chamada de uma curva elíptica (a definição precisa é um pouco moreinvolved, veja aqui). As curvas elípticas desempenharam um papel importante na eventual prova do último teorema de Fermat,que foi entregue na década de 1990 pelo matemático Andrewiles.
Ono and Trebat-Leder found that Ramanujan had also delved into theory of elliptic curves., Ele não antecipou o caminho tomado por wiles, mas em vez disso descobriu um objeto que é mais complicado do que curvas elípticas. Quando os objetos deste tipo foram redescobertos aroundforty anos mais tarde, eram adornadas com o nome ofK3 superfícies, em honra dos matemáticos ErnstKummer, ErichKähler e KunihikoKodaira, e a montanha K2, que é tão difícil subir como K3surfaces são difíceis de lidar matematicamente.
Que Ramanujan deveria ter descoberto e compreendido uma superfície K3 extremamente complicada é em si notável., Mas seu trabalho na superfície também forneceu um presente inesperado para Ono e Trebat-Leder, que liga de volta para curvas elípticas. Como todas as equações, qualquer curva elíptica equação
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naturalmente clama por soluções: os pares de números que satisfazem a equação., No espírito de Fermat, você pode procurar soluções de números inteiros, mas os teóricos de números geralmente dão a si mesmos um pouco mais de liberdade. Eles procuram soluções que sejam números racionais, ou seja, números que podem ser escritos como frações.
O elī curvas correspondentes a todo o número de valores entre -2 e 1 e todo o número de valores de valores de b entre -1 e 2. Apenas a curva para a = b = 0 não se qualifica como uma curva elíptica porque tem um canto afiado.,no ano passado, em 2014, o matemático Manjul Bhargava ganhou a Medalha Fields, um dos highthonours em Matemática, pelo grande progresso neste contexto. Bhargavashowed that most elliptic curves fall into one of two particularly simple classes. Ou há apenas finitamente muitas soluções de números racionais; ou há infinitamente muitas, mas há uma receita que produz todas elas a partir de apenas uma única solução de Números Racionais. (Você pode ler nossa entrevista com Bhargava e nosso artigo explorando alguns de seus trabalhos.,)
Se você navegue através de todos os elī curvas, de forma sistemática, por exemplo, ordenando-os de acordo com o tamanho das constantes e que aparecem em suas fórmulas e, em seguida, você provavelmente só vai se deparar com estas “simples” elliptic curves. A probabilidade de encontrar uma mais complicada, que requer duas ou três soluções para gerá-las todas, é zero. Procurar sistematicamente essas curvas elípticas é como procurar num palheiro uma agulha de forma a garantir que a agulha escorregue sempre pela rede., Para chegar a essas curvas elípticas mais complicadas, você precisa de outro método.
And this is exactly what Ramanujan came up with. His work on the K3 surface hediscovered provided Ono and Trebat-Leder with a method to produce, not just one, but infinitely many elliptic curves required two or three solutions to generate all other solutions. Não é o primeiro método que foi encontrado, mas não exigiu esforço. “Nós empatamos o recorde mundial sobre o problema, mas não tivemos que fazer qualquer trabalho pesado”, diz Ono. “Quase nada fizemos, excepto reconhecer o que o Ramanujan fez.,”
física e dimensões extras
há outra reviravolta interessante nesta história. Enquanto Ramanujan estava trabalhando nos reinos abstratos da teoria dos números, físicos estudando fenômenos do mundo real começaram a desenvolver a teoria da quantummecânica. Apesar de um triunfo em si mesmo, logo se tornou claro que a física quântica resultante entrou em conflito com as teorias físicas existentes de uma forma irredimível. A fenda ainda não foi curada e apresenta o maior problema da física do século XXI (veja aqui mais informações)., Uma tentativa de resgatar a situação foi o desenvolvimento, iniciado na década de 1960, da teoria das cordas, um primeirocandidato para uma “teoria do tudo”, unindo as diferentes camadas da física moderna.
G. H. Hardy (1877 – 1947).
uma curiosa predição da teoria das cordas é que o mundo que vivemos inconsistentes de mais do que as três dimensões espaciais que podemos ver. As dimensões doextra, as que não conseguimos ver, são enroladas em pequenos espaços demasiado pequenos para percebermos., The theorydictates that those tiny little spaces have a particular geometricstructure. Há uma classe de objetos geométricos, chamados manifolds-Yau, que se encaixa no projeto de lei (veja este artigo para saber mais). E uma das classes mais simples de variedades de Calabi-Yau vem, espere por ela, superfícies K3, que Ramanujan foi o primeiro a descobrir. Ramanujan nunca poderia ter sonhado com este desenvolvimento, é claro. “He was a whiz with formulas and I think to construct those near counter-examples to Fermat’slast theorem.”diz Ono., “Então ele desenvolveu uma teoria para encontrar essas falhas de anos, sem reconhecer que a máquina que ele estava construindo, aquelas fórmulas que ele estava escrevendo,seria útil para qualquer um, sempre, no futuro.”
Ono doesn’t rule out that Ramanujan’s manuscripts contain furtherhidden treasures. “Sei de 1729 há trinta anos. É um número adorável e romântico. Ramanujan foi um gênio e ainda estamos aprendendo sobre até que ponto sua criatividade o levou às suasformulas. Seu trabalho equivale a uma caixa, mantida no Trinity College, e três Cadernos, mantidos na Universidade de Madras. Não é muito., É uma loucura ainda descobrirmos o que ele tinha em mente. Quando é que vai acabar?”
Leitura Adicional
pode ler mais sobre o trabalho de Ramanujan num número que desaparece. Para especialistas, o papel de Ono e Trebat-Leder está disponível aqui.
sobre este artigo
KenOno é Asa Griggs Candler Professor de Matemática e Ciência da Computação na Universidade Emory.Sarah Trebat-Leder é uma estudante de PhD Emory,onde ela é uma Fellow Woodruff e graduada da NSF.Marianne Freiberger é editora Da Plus. Ela entrevistou Ono e Trebat-Leder em outubro de 2015.