Ramanujan verrast opnieuw

een doos met handschriften en drie notebooks., Dat is alles wat over is van het werk van Srinivasa Ramanujan, een Indiase wiskundige die zijn opmerkelijke maar korte leven leidde rond het begin van de twintigste eeuw. Maar die kleine voorraad wiskundige erfenis bevat nog steeds verrassingen. Twee wiskundigen van Emory University, KenOno en Sarah Trebat-Leder,hebben onlangs een fascinerende ontdekking gedaan binnen de vergeelde pagina ‘ s. Het toont aan dat Ramanujan zijn tijd verder vooruit was dan iedereen had verwacht, en verstrekt een mooie verbinding tussen verscheidene mijlpalen in de geschiedenis van Mathematica. En het gaat allemaal terug naar het onschuldig uitziende nummer 1729.,het verhaal van Ramanujan is net zo inspirerend als tragisch. Geboren in 1887 in een klein dorp rond 400 km van Madras( nu Chennai), ontwikkelde Ramanujan een passie voor wiskunde op een jonge leeftijd, maar moest het meestal alleen en in armoede nastreven. Tot hij in 1913 besloot om aletter te schrijven aan de beroemde Cambridge nummertheoreticus G. H. Hardy. Gewend aan deze vroege vorm van spam, was Hardy misschien vergeten voor het verzenden van de zeer onorthodoxe brief rechtstreeks naar de prullenbak. Hardy herkende het genie van de auteur en nodigde Ramanujan uit naar Cambridge, waar hij in 1914 aankwam., In de volgende jaren, betaalde Ramanujan meer dan Hardy ‘ s geloof in zijn talent, maar leed slechte gezondheid toe te schrijven, voor een deel, aan het Grizzly Engels klimaat en voedsel. Ramanujan keerde terug naar India in1919, nog zwak, en stierf het volgende jaar, oud slechts 32. Hardy beschreef later zijn samenwerking met Ramanujan als “het enige romantische incident in mijn leven”.

het taxi-cabnummer

de romantiek wreef af op het nummer 1729, dat een centrale rol speelt in het verhaal van Hardy-Ramanujan. “Ik herinner me een keer gaan om te zien toen hij ziek was in Putney,” Hardy schreef later., “Ik had gereden in taxi nummer 1729 en merkte op dat het nummer leek me nogal adull een, en dat ik hoopte dat het was niet een ongunstig voorteken. ‘Nee’, aldus het antwoord, ‘ het is een zeer interessant getal; het is de kleinste numberexpressible als de som van twee kubussen op twee verschillende manieren.,'” WhatRamanujan bedoeld is dat

De anekdote kreeg de nummer 1729 roem in wiskundige kringen, maar untilrecently mensen geloofden haar merkwaardige eigenschap was gewoon een randomfact Ramanujan droeg in zijn hersenen, net als een trein spotterremembers trein aankomst tijden. Wat Ono en Trebat-Leder ‘ s ontdekkingen echter laten zien, is dat het slechts het topje van een ijsberg was., In werkelijkheid was Ramanujan bezig geweest een theorie te ontwikkelen die verscheidene decennia ahead van zijn tijd was en resultaten oplevert die voor wiskundigen zelfs vandaag interessant zijn. Hij leefde niet lang genoeg om het te publiceren.de ontdekking kwam toen Ono en zijn collega-wiskundige Andrew Granville door de manuscripten van Ramanujan gingen, bewaard in de Wren Library atTrinity College, Cambridge. “We zaten vlak naast het Bureau van theelibrarian, die pagina door paginagrough de Ramanujan-doos omkeren,” herinnert Ono zich. “We stuitten op deze pagina met daarop de twee voorstellingen van 1729 ., We begonnen meteen te lachen.”

Fermat ‘ s last theorem and near misses

or

or

and so on., in 1637 stelde de Franse wiskundige Pierrede Fermat vol vertrouwen dat het antwoord nee was., Als een geheel getal is groter dan dan zijn er geen positieve gehele getal triples en zodanig dat

Fermat krabbelde in de marge van een pagina in een boek dat hij had “ontdekt een werkelijk prachtig bewijs, dat deze marge is te smal het te bevatten”., Natuurlijk was deze bewering als kattenkruid voor wiskundigen, die zich vervolgens meer dan 350 jaar gek maakten, in een poging om dit “werkelijk wonderbaarlijke bewijs”te vinden.,d=”4bd8a19d94”>

of

Sinds een positief geheel getal triple voldoen aan de vergelijking zou maken Fermat ‘ s stelling (dat zijn er geen drie) valse, Ramanujan had vastgepind een oneindige familie van bijna-ongelukken van wat zou tegenvoorbeelden te Fermat ‘ s laatste stelling.,

” niemand van ons had enig idee dat Ramanujan dacht aan iets dat gerelateerd was aan Fermat ’s laatste stelling,” zegt Ono. “Maar hier op een pagina, staringus in het gezicht, waren oneindig veel in de buurt van contra-voorbeelden, twee die toevallig worden gerelateerd aan 1729. We waren gevloerd.”Zelfs vandaag,bijna 400 jaar na Fermat’ s claim en 20 jaar na zijnresolution, slechts een handvol wiskundigen weet zelfs over de familie Ramanujan was gekomen met. “Ik ben een Ramanujan geleerde en ik was me er niet van bewust,” zegt Ono. “Eigenlijk wist niemand het.”

elliptische krommen en klimmen K3.

maar dit is niet alles., Toen Ono en zijn afgestudeerde student SarahTrebat-Leder besloten om verder te onderzoeken, het bekijken van andere pagina ‘ s in het werk van Ramanujan, vonden zij hij een verfijnde mathematical theorie had ontwikkeld die verder ging dan om het even wat mensen hadden vermoed. “Sarah en ik besteedden tijd dieper aan het denken over wat Ramanujan hadreally gedaan, en het blijkt dat hij mathematic 30 of 40 jaar anticipeerde voordat iemand wist dat dit gebied zou bestaan. Daar zijn we opgewonden over.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Als u de punten plot die aan een dergelijke vergelijking voldoen (voor gegeven waarden van en ) in een coördinatenstelsel, krijgt u een vorm die een elliptische kromme wordt genoemd (de precieze definitie is iets meer betrokken, zie hier). Ellipticcurves speelden een belangrijke rol in het uiteindelijke bewijs van Fermat ‘ s laatste stelling,die in de jaren 1990 werd geleverd door de wiskundige AndrewWiles.

Ono en Trebat-Leder vonden dat Ramanujan zich ook had verdiept in de theorie van elliptische krommen., Hij anticipeerde niet op het pad dat doorwiles werd bewandeld, maar ontdekte in plaats daarvan een object dat ingewikkelder is dan elliptische krommen. Toen objecten van deze aard werden herontdekt, werden ze versierd met de naam K3 oppervlakken — ter ere van de wiskundigen ErnstKummer, Erichkähler en KunihikoKodaira, en de berg K2, die net zo moeilijk te beklimmen is als K3 oppervlakken zijn moeilijk wiskundig te hanteren.

dat Ramanujan een buitengewoon ingewikkeld K3-oppervlak had moeten ontdekken en begrijpen, is op zich Opmerkelijk., Maar zijn werk aan de oppervlakte bood ook een onverwacht geschenk aan Ono en Trebat-Leder, dat terugkoppelt naar elliptische krommen. Zoals alle vergelijkingen, elke elliptische kromme vergelijking

natuurlijk schreeuwt om oplossingen: paren van getallen die voldoen aan de vergelijking., In de geest van Fermat zoek je misschien naar oplossingen voor hele getallen, maar getaltheoretici geven zichzelf meestal wat meer speelruimte. Ze zoeken naar oplossingen die rationele getallen zijn, dat wil zeggen getallen die als breuken kunnen worden geschreven.

vorig jaar, in 2014, won de wiskundige Manjul Bhargava de Fields Medal, een van de highesthonours in de wiskunde, voor belangrijke vooruitgang in deze context. Bhargavashowed dat de meeste elliptische krommen vallen in een van de twee bijzonder eenvoudige klassen. Of er zijn slechts eindig veel rationale getaloplossingen; of er zijn oneindig veel, maar er is een recept dat ze allemaal produceert uit slechts een enkele rationale getaloplossing. (U kunt ons interview met Bhargava en ons artikel te lezen verkennen van een aantal van zijn werk.,)

Als u alle elliptische krommen systematisch doorzoekt, bijvoorbeeld door ze te ordenen volgens de grootte van de constanten en die in hun formules voorkomen, dan zult u waarschijnlijk alleen deze “eenvoudige” elliptische krommen tegenkomen. De kans op het vinden van een meer gecompliceerde, die twee of drie oplossingen vereist om ze allemaal te genereren, is nul. Systematisch zoeken naar dergelijke elliptische krommen is als zoeken in een hooiberg naar een naald op een manier die garandeert dat de naald altijd door het net zal glijden., Om bij die meer gecompliceerde elliptische krommen te komen, heb je een andere methode nodig.

en dit is precies wat Ramanujan bedacht. Zijn werk aan de K3 oppervlakte hediscovered gaf Ono en Trebat-Leder een methode om niet slechts één, maar oneindig veel elliptische curven te produceren die twee of drie oplossingen nodig hadden om alle andere oplossingen te genereren. Het is niet de eerste methode die is gevonden, maar het vereist geen inspanning. “We hebben het wereldrecord verbonden aan het probleem , maar we hebben geen zwaar werk moeten doen”, zegt Ono. “We hebben bijna niets, behalve erkennen wat Ramanujan deed.,”

Physics and extra dimensions

Er is nog een interessante twist aan dit verhaal. Terwijl Ramanujan bezig was met de abstracte gebieden van de getaltheorie, begonnen natuurkundigen met het bestuderen van fenomenen in de echte wereld de theorie van de kwantummechanica te ontwikkelen. Hoewel een triomf op zich, werd al snel duidelijk dat de resulterende kwantumfysica botste met bestaande natuurkundige theorieën op een onverbeterlijke manier. De kloof is nog steeds niet geheeld en vormt het grootste probleem van de eenentwintigste-eeuwse fysica (zie hier meer te weten komen)., Een poging om de situatie te redden was de ontwikkeling, begonnen in de jaren 1960, van de snaartheorie, een primekandidaat voor een “theorie van alles” die de ongelijksoortige lagen van de moderne fysica verenigt.

een merkwaardige voorspelling van de snaartheorie is dat de wereld waarin we leven inconsisten is van meer dan de drie ruimtelijke dimensies die we kunnen zien. De extra dimensies, die we niet kunnen zien, zijn opgerold in kleine ruimtes die te klein zijn om waar te nemen., De theorie beweert dat die kleine ruimtes een bepaalde geometrische structuur hebben. Er is een klasse van geometrische objecten, genaamd Calabi-Yau variëteiten, die past bij de bill (zie dit artikel voor meer informatie). En een van de eenvoudigste klassen van Calabi-Yau-variëteiten komt uit, wacht erop,K3-oppervlakken, die Ramanujan de eerste was om te ontdekken.

Ramanujan had natuurlijk nooit van deze ontwikkeling kunnen dromen. “Hij was een kei met formules en ik denk om die in de buurt contra-voorbeelden van de stelling van Fermat’ slast construeren.”zegt Ono., “Dus hedeontwikkelde een theorie om de komende missers te vinden, zonder te erkennen dat de machine die hij aan het bouwen was, die formules die hij schreef,nuttig zou zijn voor iedereen, ooit, in de toekomst.”

Ono sluit niet uit dat de manuscripten van Ramanujan verder verborgen schatten bevatten. “Ik weet het al dertig jaar rond 1729. Het is een mooi, romantisch nummer. Ramanujan was een genie en wij leren nog over de mate waarin zijn creativiteit hem aan zijnformulas leidde. Zijn werk bestaat uit één doos, bewaard aan Trinity College, en drie notebooks, bewaard aan de Universiteit van Madras. Dat is niet veel., Het is gek dat we nog steeds uitzoeken wat hij in gedachten had. Wanneer houdt het op?”

verder lezen

u kunt meer lezen over het werk van Ramanujan in een verdwijnend getal. Voor experts, Ono en Trebat-Leder papier is hier beschikbaar.

over dit artikel

KenOno is Asa Griggs Candler hoogleraar wiskunde en informatica aan de Emory University.Sarah Trebat-Leder is een PhD student aan Emory, waar ze een Woodruff Fellow en NSF Graduate Fellow is.

Marianne Freiberger is redacteur van Plus. Ze interviewde Ono en Trebat-Leder in oktober 2015.