Ramanujan sorprende ancora

Una scatola di manoscritti e tre quaderni., Questo è tutto ciò che è rimasto del lavoro di Srinivasa Ramanujan, un matematico indiano che ha vissuto la sua notevole ma breve vita intorno all’inizio del ventesimo secolo. Eppure, quella piccola scorta di eredità matematica stillyields sorprende. Due matematici della Emory University, KenOno e Sarah Trebat-Leder, hanno recentemente fatto una scoperta affascinante all’interno delle sue pagine ingiallite. Mostra che Ramanujan era più avanti del suo tempo di quanto chiunque avesse previsto, e fornisce un bellissimo collegamento tra diverse pietre miliari nella storia della matematica. E tutto risale al numero innocuo 1729.,

La storia di Ramanujan è tanto stimolante quanto tragica. Nato nel 1887 in un piccolo villaggio a circa 400 km Damadras (ora Chennai), Ramanujan sviluppò la passione per la matematica in giovane età, ma dovette perseguirla per lo più da solo e in povertà. Fino a quando, nel 1913, ha deciso di scrivere aletter al famoso Cambridge numero teorico G. H. Hardy. Accustomedto questa prima forma di spam, Hardy avrebbe potuto beenforgen per la spedizione della lettera highlyunorthodox dritto al cestino. Riconoscendo il genio dell’autore, Hardy invitò Ramanujan a Cambridge,dove arrivò nel 1914., Negli anni seguenti, Ramanujan morethan ripagò la fede di Hardy nel suo talento, ma soffrì di problemi di salute dovuti, in parte, al clima e al cibo inglese. Ramanujan tornò in India nel 1919, ancora debole, e morì l’anno successivo, a soli 32 anni. Hardy in seguito descrisse la sua collaborazione Conramanujan come “l’unico incidente romantico nella mia vita”.

Il numero taxi-cab

Il romanticismo si è sfregato sul numero 1729, che svolge un ruolo centrale nella storia Hardy-Ramanujan. “Ricordo che una volta andai a vedere quando era malato a Putney”, scrisse Hardy in seguito., “Avevo cavalcato in taxi numero 1729 e ha osservato che il numero mi sembrava piuttosto adull uno, e che speravo che non era un presagio sfavorevole. ‘No’, hereplied, ‘ è un numero molto interessante; è il più piccolo numberexpressible come la somma di due cubi in due modi diversi.,'” WhatRamanujan dire è che

L’aneddoto acquisito il numero 1729 fama in matematica cerchi, ma untilrecently la gente credeva la sua curiosa proprietà era solo un altro randomfact di Ramanujan, trasportati nel suo cervello, come un treno spotterremembers ferroviaria orari di arrivo. Ciò che discover e Trebat-Leder scoprono, tuttavia, è che era solo la punta di un iceberg., In realityRamanujan era stato occupato a sviluppare una teoria che era diversi decenni aheadof suo tempo e produce risultati che sono interessanti per i matematici anche oggi. Non ha vissuto abbastanza a lungo per pubblicarlo.

La scoperta è arrivata quando Andrew e il collega matematico Andrew Granville stavano esaminando i manoscritti di Ramanujan, conservati presso la Wren Library atTrinity College di Cambridge. “Eravamo seduti proprio accanto alla scrivania di thelibrarian, sfogliando pagina per pagina attraverso la scatola di Ramanujan”, ricorda On. “Ci siamo imbattuti in questo onepage che aveva su di esso le due rappresentazioni del 1729 ., Abbiamo iniziato a ridere subito.”

L’ultimo teorema di Fermat e quasi manca

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and so on.,

Nel 1637 il matematico francese Pierrede Fermat affermò con sicurezza che la risposta è no., Se è un numero intero maggiore di poi ci sono n numero intero positivo triple e tali che

Fermat scarabocchiato nel margine della pagina in un libro che aveva “scoperto una meravigliosa dimostrazione di questo, che questo margine è troppo stretta per contenere”., Naturalmente, questa affermazione è stata come catnip per i matematici, che successivamente si sono fatti impazzire, per oltre 350 anni, cercando di trovare questa “prova veramente meravigliosa”.,d=”4bd8a19d94″>

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Dal momento che qualsiasi numero intero positivo tripla soddisfare l’equazione renderebbe di Fermat affermazione (che non ci sono tali triple) falsa, Ramanujan aveva appuntato giù un infinito famiglia di near-misses di quello che potrebbe essere contro-esempi per l’ultimo teorema di Fermat.,

“Nessuno di noi aveva idea che Ramanujan stesse pensando a qualcosa relativo all’ultimo teorema di Fermat”, dice On. “Ma qui su una pagina, staringus in the face, c’erano infinitamente molti contro-esempi ad esso vicini, due dei quali sono relativi al 1729. Eravamo a terra.”Ancora oggi, quasi 400 anni dopo la rivendicazione di Fermat e 20 anni dopo la sua risoluzione, solo una manciata di matematici conoscono persino la famiglia che Ramanujan aveva escogitato. “Sono uno studioso di Ramanujan e non ne ero a conoscenza”, dice On. “Fondamentalmente, nessuno lo sapeva.”

Curve ellittiche e arrampicata K3.

Ma questo non è tutto., Quando Sar e il suo studente laureato SarahTrebat-Leder decisero di indagare ulteriormente, guardando altre pagine del lavoro di Ramanujan, scoprirono che aveva sviluppato una teoria matematica sofisticata che andava oltre qualsiasi cosa la gente avesse sospettato. “Sarah e io abbiamo passato del tempo a pensare più profondamente a ciò che Ramanujan aveva davvero fatto, e si scopre che ha anticipato la matematica 30 o 40 anni prima che qualcuno sapesse che questo campo sarebbe esistito. Questo è ciò di cui siamo eccitati.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Se è possibile tracciare i punti che soddisfano tale equazione (dati i valori di e ) in un sistema di coordinate, si ottiene una forma chiamata una curva ellittica (la definizione precisa è leggermente moreinvolved, vedi qui). Ellitticcurve svolto un ruolo importante nella prova finale di ultimo teorema di Fermat,che è stato consegnato nel 1990 dal matematico AndrewWiles.

On e Trebat-Leder hanno scoperto che Ramanujan aveva anche approfondito la teoria delle curve ellittiche., Non ha anticipato il percorso intrapreso daWiles, ma ha invece scoperto un oggetto più complicato delle curve ellittiche. Quando oggetti di questo tipo sono stati riscoperti in giro per quaranta anni sono stati adornati con il nome di superfici K3 — in onore dei matematici ErnstKummer, ErichKähler e KunihikoKodaira, e la montagna K2, che è difficile da scalare come K3superfici sono difficili da gestire matematicamente.

Che Ramanujan abbia scoperto e compreso una superficie K3 estremamente complicata è di per sé notevole., Ma il suo lavoro sulla superficie ha anche fornito un regalo inaspettato a Tre e Trebat-Leder, che si ricollega alle curve ellittiche. Come tutte le equazioni, ogni curva ellittica equazione

naturalmente, invoca soluzioni: coppie di numeri che soddisfano l’equazione., Nello spirito di Fermat, potresti cercare soluzioni di numeri interi, ma i teorici dei numeri di solito si danno un po ‘ più di margine di manovra. Cercano soluzioni che siano numeri razionali, cioè numeri che possono essere scritti come frazioni.

L’anno scorso, nel 2014, il matematico Manjul Bhargava ha vinto la medaglia Fields, uno dei più altitonori in matematica, per i principali progressi in questo contesto. Bhargavha dimostrato che la maggior parte delle curve ellittiche rientrano in una delle due classi particolarmente semplici. O ci sono solo finitamente molte soluzioni numeriche razionali; o ce ne sono infinitamente molte, ma c’è una ricetta che le produce tutte da una sola soluzione numerica razionale. (Potete leggere la nostra intervista con Bhargava e il nostro articolo esplorando alcuni dei suoi lavori.,)

Se si setacciano tutte le curve ellittiche in modo sistematico, ad esempio ordinandole in base alla dimensione delle costanti e che appaiono nelle loro formule, è molto probabile che si incontrino solo queste “semplici” curve ellittiche. La probabilità di trovarne una più complicata, che richiede due o tre soluzioni per generarle tutte, è zero. Cercare sistematicamente tali curve ellittiche è come cercare un pagliaio per un ago in un modo che garantisce che l’ago scivolerà sempre attraverso la rete., Per arrivare a quelle curve ellittiche più complicate, hai bisogno di un altro metodo.

E questo è esattamente ciò che Ramanujan ha inventato. Il suo lavoro sulla superficie K3 hediscovered fornito On e Trebat-Leder con un metodo per produrre, non solo uno, ma infinitamente molte curve ellittiche che richiedono due o tre soluzioni per generare tutte le othersolutions. Non è il primo metodo che è stato trovato, ma non ha richiesto alcuno sforzo. “Abbiamo pareggiato il record mondiale sul problema, ma non abbiamo dovuto fare alcun lavoro pesante”, dice On. “Abbiamo fatto quasi nulla, tranne riconoscere ciò che ha fatto Ramanujan.,”

Fisica e dimensioni extra

C’è un’altra svolta interessante in questa storia. Mentre Ramanujan stava lavorando nei regni astratti della teoria dei numeri, i fisici che studiavano i fenomeni del mondo reale iniziarono a sviluppare la teoria della quantumeccanica. Anche se un trionfo a sé stante, divenne ben presto chiaroche la fisica quantistica risultante si scontrò con le teorie fisiche esistenti in modo irriducibile. La spaccatura non è ancora stata guarita e rappresenta il più grande problema della fisica del ventunesimo secolo (vedi qui per saperne di più)., Un tentativo di salvare la situazione è stato lo sviluppo, iniziato nel 1960, della teoria delle stringhe, un primecandidato per una “teoria del tutto” che unisce i diversi tipi di fisica moderna.

Una curiosa previsione della teoria delle stringhe è che il mondo in cui viviamo è inconsist di più delle tre dimensioni spaziali che possiamo vedere. Le dimensioni extra, quelle che non possiamo vedere, sono arrotolate in piccoli spazi troppo piccoli per essere percepiti., La teoria indica che quei piccoli spazi hanno una particolare struttura geometrica. C’è una classe di oggetti geometrici, chiamatacalabi-Yau collettori, che si adatta al disegno di legge (vedi questo articolo per saperne di più). E una delle classi più semplici di varietà Calabi-Yau proviene da, wait for it,superfici K3, che Ramanujan è stato il primo a scoprire.

Ramanujan non avrebbe mai potuto sognare questo sviluppo, ovviamente. “Era un mago con le formule e penso di costruire quei contro-esempi vicini al teorema di Fermat’slast.”dice On., “Così ha sviluppato una teoria per trovare thesenear manca, senza riconoscere che themachine che stava costruendo, quelle formule che stava scrivendo, sarebbe utile per chiunque, mai, in futuro.”

On non esclude che i manoscritti di Ramanujan contengano tesori nascosti. “Conosco il 1729 da trent’anni. E ‘ un bel numero romantico. Ramanujan era un genio e noi stilllearning circa la misura in cui la sua creatività lo ha portato a hisformulas. Il suo lavoro ammonta a una scatola, conservata al Trinity College, etre quaderni, conservati presso l’Università di Madras. Non e ‘ molto., È pazzesco che stiamo ancora capendo cosa aveva in mente. Quando finirà?”

Ulteriori letture

Puoi leggere di più sul lavoro di Ramanujan in Un numero che scompare. Per gli esperti, la carta di Tre e Trebat-Leder è disponibile qui.

A proposito di questo articolo

Kentano è Asa Griggs Candler Professore di Matematica e Informatica presso la Emory University.

Sarah Trebat-Leder è una dottoranda presso Emory, dove è una Woodruff Fellow e NSF Graduate Fellow.

Marianne Freiberger è redattrice di Plus. Ha intervistato On e Trebat-Leder nell’ottobre 2015.