Ramanujan surprend à nouveau

Une boîte de manuscrits et de trois cahiers., C’est tout ce qui reste du travail de Srinivasa Ramanujan, un mathématicien indien qui a vécu sa vie remarquable mais courte au début du vingtième siècle. Pourtant, cette petite réserve d’héritage mathématique réserve encore des surprises. Deux mathématiciens de L’Université Emory, KenOno et Sarah Trebat-Leder,ont récemment fait une découverte fascinante dans ses pages jaunies. Il montre que Ramanujan était plus en avance sur son temps que quiconque ne l’avait attendu, et fournit un beau lien entre plusieurs jalons de l’histoire de la mathématique. Et tout remonte au numéro anodin 1729.,

L’histoire de Ramanujan est aussi inspirante que tragique. Né en 1887 dans un petit village à environ 400 km demadras (maintenant Chennai), Ramanujan a développé une passion pour les mathématiques à un jeune âge, mais a dû poursuivre la plupart du temps seul et dans la pauvreté. Jusqu’à ce que, en 1913, il décide d’écrire aletter au célèbre théoricien des nombres de Cambridge G. H. Hardy. Habitué à cette forme précoce de spam, Hardy aurait pu être récompensé pour avoir envoyé la lettre hautement orthodoxe directement à la poubelle. Reconnaissant le génie de L’auteur, Hardy invita Ramanujan à Cambridge,où il arriva en 1914., Au cours des années suivantes, Ramanujan morethan remboursa la foi de Hardy en son talent, mais souffrit d’une mauvaise santé due, en partie, au climat et à la nourriture anglais. Ramanujan retourna en Inde en 1919, encore faible, et mourut l’année suivante, à seulement 32 ans. Hardy a décrit plus tard sa collaboration avecramanujan comme « le seul incident romantique de ma vie ».

le numéro de taxi

Le romantisme déteint sur le numéro 1729, qui joue un rôle central dans L’histoire Hardy-Ramanujan. « Je me souviens d’être allé une fois voir quand il était malade à Putney », a écrit Hardy plus tard., « J’étais monté dans le taxi numéro 1729 et a fait remarquer que le nombre me semblait plutôt adull, et que j’espérais qu’il n’était pas un présage défavorable. « Non », ici écrit,  » c’est un nombre très intéressant; c’est le plus petit nombre exprimable comme la somme de deux cubes de deux manières différentes.,' » WhatRamanujan signifiait que

l’anecdote a gagné le nombre 1729 renommée dans les cercles mathématiques, mais jusqu’à récemment, les gens croyaient que sa propriété curieuse était juste un autre hasard Ramanujan transporté dans son cerveau — un peu comme un train spotterremembers heure d’arrivée du train. Ce que découvre Ono et Trebat-Leder, cependant, c’est que ce n’était que la pointe d’un banc de glace., En réalitéramanujan avait été occupé à développer une théorie qui avait plusieurs décennies d’avance sur son temps et donne des résultats qui sont intéressants pour les mathématiciens même aujourd’hui. Il n’a tout simplement pas vécu assez longtemps pour le publier.

La Découverte est venue quand Ono et son collègue mathématicien Andrew Granville wereleafing à travers les manuscrits de Ramanujan, conservés à la Wren Library atTrinity College, Cambridge. « Nous étions assis juste à côté du bureau de thelibrarian, retournant page par page à travers la boîte Ramanujan », se souvient Ono. « Nous sommes tombés sur cette page qui portait sur elle les deux représentations de 1729 ., Nous avons commencé à rire immédiatement. »

dernier théorème de Fermat et quasi – Échecs

or

or

and so on.,

en 1637, le mathématicien français Pierrede Fermat affirma avec confiance que la réponse était non., Si est un nombre entier supérieur à alors il n’y a pas de triplets de nombres entiers positifs Et

Fermat a griffonné dans la marge d’une page d’un livre qu’il avait »découvert une preuve vraiment merveilleuse de cela, que cette marge est trop étroite pour contenir »., Naturellement, cette affirmation était comme de l’herbe à chat pour les mathématiciens, qui se sont ensuite rendus fous, pendant plus de 350 ans, essayant de trouver cette « preuve vraiment merveilleuse ».,d= »4bd8a19d94″>

ou

Puisque tout nombre entier positif triple, satisfaisant l’équation rendrait Fermat est l’affirmation (qu’il n’y a pas de tels triplets) faux, Ramanujan avait coincé dans une famille infinie de quasi-accidents, de ce qui serait contre-exemples pour le dernier théorème de Fermat.,

« aucun d’entre nous n’avait la moindre idée que Ramanujan pensait à quoi que ce soit lié au dernier théorème de Fermat », dit Ono. « Mais ici, sur une page, regardant en face, il y avait une infinité de contre-exemples proches, deux qui se rapportent à 1729. Nous avons été terrassé. »Même aujourd’hui, près de 400 ans après la revendication de Fermat et 20 ans après sarésolution, seule une poignée de mathématiciens connaissent même la famille Ramanujan. « Je suis un érudit Ramanujan et je n’étais pas au courant de cela », dit Ono. « Fondamentalement, personne ne savait. »

courbes elliptiques et escalade K3.

Mais ce n’est pas tout., Lorsque Ono et son étudiant diplômé SarahTrebat-Leder ont décidé d’enquêter davantage, en regardant d’autres pages du travail de Ramanujan, ils ont découvert qu’il avait développé une théorie mathématique sophistiquée qui allait au-delà de tout ce que les gens soupçonnaient. « Sarah et moi avons passé du temps à réfléchir plus profondément à ce que Ramanujan avaitréalement fait, et il s’avère qu’il a anticipé les mathématiques 30 ou 40 ans avant que quiconque ne sache que ce domaine existerait. C’est ce que nous areexcited sur.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Si vous tracez les points qui satisfont une telle équation (pour des valeurs données de Et ) dans un système de coordonnées, vous obtenez une forme appelée courbe elliptique (la définition précise est légèrement plusinvolved, voir ici). Ellipticcurves a joué un rôle important dans la preuve éventuelle du dernier théorème de Fermat,qui a été livré dans les années 1990 par le mathématicien AndrewWiles.

Ono et Trebat-Leder ont constaté que Ramanujan avait également approfondi la théorie des courbes elliptiques., Il n’a pas anticipé le chemin emprunté parwiles, mais a découvert un objet plus complexe que les courbes elliptiques. Lorsque des objets de ce genre ont été redécouverts environ quarante ans plus tard, ils ont été ornés du nom dek3 surfaces — en l’honneur des mathématiciens ErnstKummer, ErichKähler et KunihikoKodaira, et la montagne K2, qui est aussi difficile à gravir que K3surfaces sont difficiles à gérer mathématiquement.

que Ramanujan ait découvert et compris une surface K3 extrêmement compliquée est en soi remarquable., Mais son travail sur la surface a également fourni un cadeau inattendu à Ono et Trebat-Leder, qui renvoie aux courbes elliptiques. Comme toutes les équations, toute courbe elliptique d’équation

naturellement, les cris de solutions: des paires de nombres qui satisfont à l’équation., Dans L’esprit de Fermat, vous pouvez rechercher des solutions de nombres entiers, mais les théoriciens des nombres se donnent généralement un peu plus de marge de manœuvre. Ils recherchent des solutions qui sont des nombres rationnels, c’est-à-dire des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions.

L’année dernière, en 2014, le mathématicien Manjul Bhargava a remporté la médaille Fields, l’une des plus hautes distinctions en mathématiques, pour ses progrès majeurs dans ce contexte. Bhargavashowed que la plupart des courbes elliptiques tombent dans l’une des deux classes particulièrement simples. Soit il n’y a que de nombreuses solutions de nombres rationnels; soit il y en a infiniment, mais il existe une recette qui les produit toutes à partir d’une seule solution de nombres rationnels. (Vous pouvez lire notre interview avec Bhargava et notre article explorant certains de ses travaux.,)

Si vous passer au crible toutes les courbes elliptiques, de manière systématique, par exemple en les ordonnant selon la taille des constantes et qui apparaissent dans leurs formules, alors vous êtes probablement jamais à venir à travers ces « simples » courbes elliptiques. La probabilité d’en trouver une plus compliquée, qui nécessite deux ou trois solutions pour toutes les générer, est nulle. Rechercher systématiquement de telles courbes elliptiques revient à chercher une aiguille dans une botte de foin de manière à garantir que l’aiguille glissera toujours à travers le filet., Pour obtenir ces courbes elliptiques plus compliquées, vous avez besoin d’une autre méthode.

Et c’est exactement ce que Ramanujan est venu avec. Son travail sur la surface K3 qu’il a découverte a fourni à Ono et Trebat-Leder une méthode pour produire, non pas une, mais une infinité de courbes elliptiques nécessitant deux ou trois solutions pour générer toutes les autres solutions. Ce n’est pas la première méthode qui a été trouvée, mais elle n’a nécessité aucun effort. « Nous avons égalé le record du monde sur le problème , mais nous n’avons pas eu à faire de gros travaux », explique Ono. « Nous n’avons presque rien fait, sauf reconnaître ce que Ramanujan a fait., »

physique et dimensions supplémentaires

Il y a une autre tournure intéressante à cette histoire. Alors que Ramanujan travaillait dans les domaines abstraits de la théorie des nombres, les physiciensétudiant les phénomènes du monde réel ont commencé à développer la théorie de la quantummécanique. Bien qu’un triomphe à part entière, il est vite devenu clairque la physique quantique résultante s’est heurtée aux théories physiques existantes d’une manière irrémédiable. La faille n’a toujours pas été guérie et représente le plus gros problème de la physique du XXIe siècle (voir ici pour en savoir plus)., Une tentative de sauvetage de la situation a été le développement, commencé dans les années 1960, de la théorie des cordes, un primecandidat pour une « théorie du tout » unissant les échancrures disparates de la physique moderne.

une prédiction curieuse de la théorie des cordes est que le monde que nous vivons est plus que les trois dimensions spatiales que nous pouvons voir. Les dimensions extrêmes, celles que nous ne pouvons pas voir, sont enroulées dans de minuscules espaces trop petits pour que nous puissions les percevoir., La théorie indique que ces petits espaces ont une structure géométrique particulière. Il y a une classe d’objets géométriques, appeléescalabi-Yau manifolds, qui correspond à la facture (Voir cet article pour en savoir plus). Et l’une des classes les plus simples de collecteurs Calabi-Yau provient, attendez-le,des surfaces K3, que Ramanujan a été le premier à découvrir.

Ramanujan n’aurait jamais pu rêver de ce développement, bien sûr. « Il était un génie avec des formules et je pense construire ces contre-exemples proches du dernier théorème de Fermat. »dit Ono., « Il a donc développé une théorie pour trouver ces échecs, sans reconnaître que la machine qu’il construisait, ces formules qu’il écrivait,serait utile à quiconque, jamais, dans le futur. »

Ono n’exclut pas que les manuscrits de Ramanujan contiennent d’autres trésors cachés. « Je connais environ 1729 depuis trente ans. C’est une belle, romanticnumber. Ramanujan était un génie et nous apprenons encore à quel point sa créativité l’a conduit à ses formules. Son travail s’élève à une boîte, conservée au Trinity College, et trois cahiers, conservés à L’Université de Madras. Ce n’est pas beaucoup., C’est fou qu’on soit encore en train de comprendre ce qu’il avait en tête. Quand est-il à sa fin? »

lecture supplémentaire

Vous pouvez en savoir plus sur le travail de Ramanujan dans un numéro qui disparaît. Pour les experts, le document D’Ono et Trebat-Leder est disponible ici.

à propos de cet article

KenOno est professeur Asa Griggs Candler de mathématiques et D’informatique à L’Université Emory.

Sarah Trebat-Leder est doctorante à Emory, où elle est Woodruff Fellow et NSF Graduate Fellow.

Marianne Freiberger est rédactrice en chef de Plus. Elle a interviewé Ono et Trebat-Leder en octobre 2015.