Ramanujan överraskar igen

en låda med manuskript och tre bärbara datorer., Det är allt som finns kvar av Srinivasa Ramanujans arbete, en indisk matematiker som levde sitt anmärkningsvärda men korta liv i början av 1900-talet. Ändå överraskar den lilla stash of mathematical legacy fortfarandefält. Två matematiker av Emory University, KenOno och Sarah Trebat-Leder,har nyligen gjort en fascinerande upptäckt inom sin gulnade sidor. Det visar att Ramanujan var längre före sin tid än någon hade förväntat sig, och ger en vacker länk mellan flera milstolpar i historien om matematik. Och allt går tillbaka till det oskyldiga nummer 1729.,

Ramanujans historia är lika inspirerande som det är tragiskt. Ramanujan föddes 1887 i en liten by runt 400 km frånmadras (nu Chennai), utvecklade en passion för matematik i ung ålder, men var tvungen att driva det mestadels ensam och i fattigdom. Fram till 1913 bestämde han sig för att skriva aletter till det berömda Cambridge – numret teoretiker G. H. Hardy. Vana vid denna tidiga form av spam, Hardy kan ha varit enforgiven för att skicka highlyunorthodox brev direkt till papperskorgen. Men hedidn ’ t. erkänna författarens geni, Hardy bjöd Ramanujan till Cambridge, där han kom 1914., Under de följande åren har Ramanujan merän återbetalat Hardys tro på sin talang, men lidit ohälsa delvis på grund av det tidiga engelska klimatet och maten. Ramanujan återvände till Indien 1919, fortfarande svag, och dödeföljande år, åldern endast 32. Hardy beskrev senare sitt samarbete medramanujan som”den enda romantiska händelsen i mitt liv”.

taxi-cab nummer

romantiken gnuggade bort på nummer 1729, som spelar acentral roll i Hardy-Ramanujan historien. ”Jag minns en gång kommer att se när han var sjuk på Putney,” Hardy skrev senare., ”Jag hade ridit i taxicab nummer 1729 och påpekade att antalet tycktes mig ganska adull en, och att jag hoppades att det inte var en ogynnsam omen. ”Nej”, nedan kallat ” det är ett mycket intressant tal; Det är det minsta antaletutskrivbart som summan av två kuber på två olika sätt.,'” WhatRamanujan menade är att

anekdoten fick numret 1729 berömmelse i matematiska cirklar, men tillsnyligen trodde folk att dess nyfikna egendom var bara en annan randomfact Ramanujan bar omkring i sin hjärna — ungefär som en tågspotterremembers tåg ankomsttider. Vad Ono och Trebat-leders upptäckarevisar dock att det bara var toppen av ett isberg., I realityRamanujan hade varit upptagen med att utveckla en teori som var flera decennier efter sin tid och ger resultat som är intressanta för matematiker även idag. Han levde inte länge nog för att publicera det.

Den upptäckten kom när Ono och kolleger matematikern Andrew Granville wereleafing genom Ramanujan manuskript, som förvaras på Wren Bibliotek atTrinity College, Cambridge. ”Vi satt precis bredvid thelibrarian skrivbord, vända sida genom pagethrough Ramanujan box,” påminner Ono. ”Vi kom över denna ensida som hade på sig de två representationerna av 1729 ., Vi började skratta omedelbart.”

Fermats sista sats och nära missar

or

or

and so on.,

år 1637 hävdade den franska matematikern Pierrede Fermat med säkerhet att svaret är nej., Om är ett heltal som är större än så finns det inga positiva tredubblar för hela antalet och så att

Fermat klottrade i marginalen på en sida i en bok som han hade”upptäckt ett verkligt fantastiskt bevis på detta, vilket denna marginal är för smal för att innehålla”., Naturligtvis var detta påstående som kattmynta till matematiker, som senare körde sig galen, i över 350 år, försökte hitta detta ”verkligen underbara bevis”.,d=”4bd8a19d94″>

eller

eftersom ett positivt heltal trippel som uppfyller ekvationen skulle göra Fermats påstående (att det inte finns några sådana tripplar) falskt, Ramanujan hade satt fast en oändlig familj av nära missar av vad som skulle vara kontra exempel på Fermats sista sats.,

”ingen av oss hade någon aning om att Ramanujan tänkte på någonting relaterat till Fermats sista sats”, säger Ono. ”Men här på en sida, staringus i ansiktet, var oändligt många nära mot exempel på det, två som händeatt vara relaterad till 1729. Vi var översvämmade.”Även idag, nästan 400 år efter Fermats påstående och 20 år efter dess upplösning, bara en handfull matematiker ens vet om familjen Ramanujan hade kommit med. ”Jag är en Ramanujan scholar och jag var inte medveten om esultat, säger Ono. ”I grund och botten visste ingen.”

elliptiska kurvor och klättring K3.

men det här är inte allt., När Ono och hans doktorand SarahTrebat-Leder bestämde sig för att undersöka ytterligare, titta på andra sidor inramanujans arbete, fann de att han hade utvecklat en sofistikerad matematisk teori som gick utöver vad folk hade misstänkt. ”Sarah och jag spenderade tid på att tänka djupare på vad Ramanujan hadeverkligen gjort, och det visar sig att han förväntade sig matematisk 30 eller 40år innan någon visste att detta fält skulle existera. Det är vad vi är upphetsad om.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Om du plottar punkterna som uppfyller en sådan ekvation (för givna värden på och ) I ett koordinatsystem får du en form som kallas en elliptisk kurva (den exakta definitionen är något merinvolverad, se här). Ellipticcurves spelade en viktig roll i det slutliga beviset på Fermats sista teorem, som levererades på 1990-talet av matematikern AndrewWiles.

Ono och Trebat-Leder fann att Ramanujan också hade fördjupat sig iTeori av elliptiska kurvor., Han förutsåg inte den väg som togs avviles, men upptäckte istället ett objekt som är merkomplicerat än elliptiska kurvor. När objekt av detta slag återupptäcktes aroundforty år senare var de prydd med namnet ofK3 ytor — för att hedra de matematiker ErnstKummer, ErichKähler och KunihikoKodaira, och berget K2, som är så svårt att klättra så K3surfaces är svåra att hantera matematiskt.

att Ramanujan borde ha upptäckt och förstått en ytterst komplicerad K3-yta är i sig anmärkningsvärt., Men hans arbete på ytan också en oväntad gåva till Ono och Trebat-Leder som länkar tillbaka till elliptiska kurvor. Liksom alla ekvationer, någon elliptisk kurva ekvation

ropar naturligtvis efter lösningar: par av tal som uppfyller ekvationen., I en anda av Fermat, kan du leta efter heltal lösningar, men Antal teoretiker brukar ge sig lite mer spelrum. De letar efter lösningar som är rationella tal, det vill säga siffror som kan skrivas som fraktioner.

förra året, i 2014, matematikern Manjul Bhargava vann fälten medalj, en av de högstakonour i matematik, för stora framsteg i detta sammanhang. Bhargavashowed att de flesta elliptiska kurvor faller i en av två särskilt enkla klasser. Antingen finns det bara finitely många rationella tallösningar; eller det finns oändligt många, men det finns ett recept som producerar dem alla från bara en enda rationell tallösning. (Du kan läsa vår intervju med Bhargava och vår artikel utforska några av hans arbete.,)

om du siktar igenom alla elliptiska kurvor på ett systematiskt sätt, till exempel genom att beställa dem enligt storleken på konstanterna och som visas i deras formler, kommer du sannolikt bara någonsin att komma över dessa ”enkla” elliptiska kurvor. Sannolikheten att hitta en mer komplicerad, som kräver två eller tre lösningar för att generera dem alla, är noll. Att söka efter sådana elliptiska kurvor systematiskt är som att söka en höstack för en nål på ett sätt som garanterar att nålen alltid glider genom nätet., För att komma åt de mer komplicerade elliptiska kurvorna behöver du en annan metod.

och det här är precis vad Ramanujan kom fram till. Hans arbete på K3 yta hediscovered förutsatt Ono och Trebat-Leder med en metod för att producera, inte bara en, utan oändligt många ellipticcurves kräver två eller tre lösningar för att generera alla othersolutions. Det är inte den första metoden som har hittats, men det krävde ingen ansträngning. ”Vi bundet världsrekordet på problemet , men vi gjorde detmåste göra något tungt lyft”, säger Ono. ”Wedid bredvid ingenting, förutom att erkänna vad Ramanujan gjorde.,”

fysik och extra dimensioner

det finns en annan intressant twist till den här historien. Medan Ramanujanarbetade i de abstrakta riken av nummerteori, fysikerstudera verkliga fenomen började utveckla teorin om quantummekanik. Även om en triumf i sin egen rätt blev det snart tydligtatt den resulterande kvantfysiken kolliderade med befintliga fysiska teorier på ett oåterkalleligt sätt. Sprickan har fortfarande inte blivit läkt ochpresenterar det största problemet med tjugoförsta århundradet fysik (se härtill ta reda på mer)., Ett försök att rädda situationen var utvecklingen, som inleddes på 1960-talet, av strängteori, ett primecandidat för en ”teori om allt” som förenar de olika stranderna i modern fysik.

en nyfiken förutsägelse av strängteori är att världen vi lever inkonsekvenser av mer än de tre rumsliga dimensioner vi kan se. Theextra dimensioner, de vi inte kan se, rullas upptätt i små små utrymmen för små för oss att uppfatta., Theorydictates att de små små utrymmena har en viss geometriskstruktur. Det finns en klass av geometriska objekt, kalladecalabi-Yau manifolds, som passar räkningen (se den här artikeln för att ta reda på mer). Och en av de enklaste klasserna av Calabi-Yau manifolds kommer från, vänta på det, K3-ytor, som Ramanujan var den första som upptäckte.

Ramanujan kunde naturligtvis aldrig ha drömt om denna utveckling. ”Han var en whiz med formler och jag tror att konstruera de nära counter-exemplen till Fermat’ slast teorem. säger Ono., ”Så hanutvecklade en teori för att hitta dessaår missar, utan att erkänna att themachine han byggde, de formler som han skrev ner, skulle vara användbara för någon, någonsin, i framtiden.”

Ono utesluter inte att Ramanujans manuskript innehåller ytterligarehidden skatter. ”Jag har känt om 1729 i trettio år. Det är en underbar, romantisknummer. Ramanujan var ett geni och vi fortfarandelära om i vilken utsträckning hans kreativitet ledde honom till hisformulas. Hans arbete uppgår till en låda, hålls vid Trinity College, ochtre anteckningsböcker, hålls vid University of Madras. Det är inte mycket., Det är galet att vi fortfarande räknar ut vad han hade i åtanke. När kommer det att ta slut?”

Ytterligare läsning

Du kan läsa mer om Ramanujans arbete i ett försvinnande nummer. För experter finns Ono och Trebat-leders papper här.

om denna artikel

KenOno är Asa Griggs Candler Professor i matematik och datavetenskap vid Emory University.

Sara Trebat-Leder är Doktorand vid Emory, där hon är en Woodruff Kolleger och NSF Examen Kolleger.

Marianne Freiberger är redaktör för Plus. Hon intervjuade Ono och Trebat-Leder i oktober 2015.