Ramanujan znowu zaskakuje

pudełko rękopisów i trzy Zeszyty., To wszystko, co pozostało pracy Srinivasa Ramanujan, indyjski matematyk, który żył jego niezwykłe, ale krótkie życie wokół początku XX wieku. Jednak ten mały zasób matematycznej spuścizny wciąż zaskakuje. Dwóch matematyków z Uniwersytetu Emory, KenOno i Sarah Trebat-Leder, dokonało niedawno fascynującego odkrycia na pożółkłych stronach. To showsthat Ramanujan być dalej przed jego czas niż ktokolwiek mieć expected, i zapewnia piękny związek między kilka kamienie milowe w the history ofmatematics. I wszystko wraca do niewinnie wyglądającego numeru 1729.,

Ramanujan ' s story jest tak inspirujące, jak to jest tragiczne. Urodzony w 1887 w małej wiosce około 400 km fromMadras (obecnie Chennai), Ramanujan rozwinął pasję do matematyki w młodym wieku, ale musiał realizować go głównie sam i w ubóstwie. Aż w 1913 roku postanowił napisać alettera do słynnego Cambridge teoretyka liczb G. H. Hardy ' ego. Przyzwyczajony do tej wczesnej formy spamu, Hardy mógł być przeznaczony do wysyłania wysoce nieortodoksyjnego listu prosto do kosza. Rozpoznając geniusz autora, Hardy zaprosił Ramanujan do Cambridge,gdzie przybył w 1914., W ciągu następnych lat, Ramanujan morethan odpłacić Hardy ' s wiara w jego talent, ale cierpieć zły zdrowie należny, w części, thegrizzly angielski klimat i jedzenie. Ramanujan powracać Indie w 1919, wciąż słaby, i diedthe następny rok, Wiek tylko 32. Hardy później opisał swoją współpracę z Ramanujan jako „jeden romantyczny incydent w moim życiu”.

numer taksówki

romantyzm ocierał się o numer 1729, który odgrywa centralną rolę w historii Hardy ' ego-Ramanujana. „Pamiętam, że kiedyś widziałem, kiedy był chory w Putney”, Hardy napisał później., „Jechałem taksówką numer 1729 i zauważyłem, że numer ten wydawał mi się raczej nudny i miałem nadzieję, że nie jest to niekorzystny omen. „Nie”, to bardzo interesująca liczba; jest najmniejszą liczbą, jaką można przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na dwa różne sposoby.,””Co to znaczy, że

anegdota zyskał numer 1729 sława w matematycznych kręgach, ale untilrecently ludzie wierzyli jego ciekawa właściwość był po prostu inny randomfact Ramanujan niesiony o w jego mózgu — podobnie jak pociąg spotterremembers pociąg przyjazdu razy. To, co Ono i Trebat-Leder odkryli, to jednak to, że był to tylko wierzchołek lodowego berg., W realityRamanujan had been busy developing a theory that was several decades aheadof its time and plones results that are interesting to mathematicians even today. Po prostu nie żył wystarczająco długo, by to opublikować.

odkrycie przyszło, gdy Ono i kolega matematyk Andrew Granville wereleafing poprzez Ramanujan ' s manuskrypty, przechowywane w Wren Biblioteka atTrinity College, Cambridge. „Siedzieliśmy tuż obok biurka thelibrarian, przerzucając stronę po stronie Ramanujan box,” wspomina Ono. „Natknęliśmy się na tę jedną stronę, która miała na sobie dwie reprezentacje z 1729 roku ., Od razu zaczęliśmy się śmiać.”

Ostatnie twierdzenie Fermata i bliskie chybienia

or

or

and so on.,

w 1637 roku francuski matematyk Pierrede Fermat z przekonaniem stwierdził, że odpowiedź brzmi nie., Jeśli jest liczbą całkowitą większą niż to nie ma dodatnich trójek liczby całkowitej I takie, że

FERMAT nabazgrał na marginesie strony w książce, że „odkrył naprawdę cudowny dowód na to, że ten margines jest zbyt wąski, aby go pomieścić”., Oczywiście twierdzenie to było jak kocimiętka dla matematyków, którzy potem przez ponad 350 lat doprowadzali się do szaleństwa, próbując znaleźć ten „naprawdę cudowny dowód”.,d=”4bd8a19d94″>

lub

ponieważ każda dodatnia liczba całkowita potrójna spełniająca równanie renderowałaby twierdzenie fermata (że nie ma takich potrójnych) fałszywe, Ramanujan miał przypięty w dół nieskończoną rodzinę Bliski-chybienia, co byłoby przeciw-przykłady do ostatniego twierdzenia fermata.,

„nikt z nas nie miał pojęcia, że Ramanujan myślał o niczym związanym z ostatnim twierdzeniem Fermata,” mówi Ono. „Ale tutaj na stronie, staringus w twarz, było nieskończenie wiele blisko kontra-przykłady do niego, dwa, które happento być związane z 1729. Byliśmy wykończeni.”Nawet dzisiaj, prawie 400 lat po twierdzeniu Fermata i 20 lat po jego rozwiązaniu, tylko garstka matematyków wie nawet o rodzinie Ramanujan wymyślił. „I' m a Ramanujan scholar and I wasn 't knowledge ofit,” mówi Ono. „Zasadniczo nikt nie wiedział.”

krzywe eliptyczne i wspinaczka K3.

ale to nie wszystko., Kiedy Ono i jego absolwent Student SarahTrebat-Leder postanowił zbadać dalej, patrząc na inne strony wramanujan ' S pracy, odkryli, że rozwinął wyrafinowanymmatematyczna teoria, która wykraczała poza wszystko ludzie podejrzewali. „Sarah i ja spędziłem czas myśląc głębiej o tym, co Ramanujan hadreally zrobić, i okazuje się, że on przewidywał matematyczny 30 lub 40years zanim ktokolwiek wiedział ten pole istnieć. O to nam chodzi.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Jeśli wykreślisz punkty, które spełniają takie równanie (dla podanych wartości I ) w układzie współrzędnych, otrzymasz kształt zwany krzywą eliptyczną (dokładna definicja jest nieco bardziej rozwinięta, patrz tutaj). Ellipticcurves odegrał ważną rolę w ostatecznym dowodzie ostatniego twierdzenia Fermata, które zostało przedstawione w latach 90. przez matematyka Andrewwilesa.

Ono i Trebat-Leder odkryli, że Ramanujan również zagłębił się w theory krzywych eliptycznych., Nie przewidział ścieżki, którą obrał, ale zamiast tego odkrył obiekt bardziej skomplikowany niż krzywe eliptyczne. Kiedy obiekty tego typu zostały odkryte po latach na nowo, zostały one ozdobione nazwą powierzchni ofK3 — na cześć matematyków Ernstkummera, Erichkählera i KunihikoKodaira, a także górą K2, która jest równie trudna do wspinania, jak K3surfaces są trudne do obsługi matematycznie.

że Ramanujan powinien odkrywać i rozumieć niezmiernie skomplikowany K3 powierzchnia jest w sobie niezwykły., Ale jego praca na powierzchni również dostarczyła nieoczekiwanego prezentu Ono i Trebat-Lederowi, który łączy się z krzywymi eliptycznymi. Podobnie jak wszystkie równania, dowolne równanie krzywej eliptycznej

naturalnie woła o rozwiązania: pary liczb które spełniają równanie., W duchu Fermata można szukać rozwiązań liczb całkowitych, ale teoretycy liczb zwykle dają sobie trochę więcej swobody. Szukają rozwiązań, które są liczbami wymiernymi, czyli liczbami, które można zapisać jako ułamki.

w ubiegłym roku, w 2014 roku, matematyk Manjul Bhargava zdobył medal Fieldsa, jeden z najwyższych odznaczeń w matematyce, za duży postęp w tym kontekście. Bhargavash uważał, że większość krzywych eliptycznych należy do jednej z dwóch szczególnie prostych klas. Albo istnieje tylko nieskończenie wiele racjonalnych rozwiązań liczbowych, albo istnieje nieskończenie wiele, ale istnieje recepta, która produkuje je wszystkie z jednego racjonalnego rozwiązania liczbowego. (Możesz przeczytać nasz wywiad z Bhargavą i nasz artykuł omawiający niektóre z jego prac.,)

Jeśli przesiąkniesz wszystkie krzywe eliptyczne w sposób systematyczny, na przykład porządkując je zgodnie z rozmiarem stałych I , które pojawiają się w ich formułach, najprawdopodobniej napotkasz tylko te „proste” krzywe eliptyczne. Prawdopodobieństwo znalezienia bardziej skomplikowanego rozwiązania, które wymaga dwóch lub trzech rozwiązań, aby wygenerować je wszystkie, wynosi zero. Systematyczne szukanie takich krzywych eliptycznych jest jak szukanie igły w stogu siana w sposób, który gwarantuje, że igła zawsze prześlizgnie się przez siatkę., Aby uzyskać te bardziej skomplikowane krzywe eliptyczne, potrzebujesz innej metody.

i to jest dokładnie to, co Ramanujan wymyślił. Jego praca na odkrytej powierzchni K3 dostarczyła Ono i Trebat-Lederowi metody do wytworzenia nie tylko jednej, ale nieskończenie wielu eliptycznych krzywych wymagających dwóch lub trzech rozwiązań do wytworzenia wszystkich othersolutions. Nie jest to pierwsza metoda, która została znaleziona, ale nie wymagała żadnego wysiłku. „Wyrównaliśmy rekord świata w tym problemie , ale nie musieliśmy wykonywać żadnych ciężkich prac” – mówi Ono. „Weid next to nothing, except what Ramanujan did.,”

fizyka i dodatkowe wymiary

jest jeszcze jeden ciekawy zwrot w tej historii. Podczas gdy Ramanujan zajmował się abstrakcyjnymi dziedzinami teorii liczb, fizycy badający zjawiska świata rzeczywistego zaczęli rozwijać teorię kwantummechaniki. Chociaż sam w sobie był triumfem, wkrótce stało się jasne, że wynikająca z tego fizyka kwantowa zderzyła się z istniejącymi teoriami fizycznymi w sposób nie do przezwyciężenia. Szczelina nadal nie została wyleczona i stanowi największy problem fizyki XXI wieku(Zobacz więcej)., Jedną z prób ratowania tej sytuacji był rozpoczęty w latach 60. rozwój teorii strun, pierwowzoru dla „teorii wszystkiego”, łączącej różne struny współczesnej fizyki.

ciekawą prognozą teorii strun jest to, że świat, w którym żyjemy, ma więcej niż trzy wymiary przestrzenne, które możemy zobaczyć. Wymiary zewnętrzne, te, których nie widzimy, są zwinięte w małe przestrzenie zbyt małe, by je dostrzec., Teoria zakłada, że te małe przestrzenie mają określoną strukturę geometryczną. Istnieje klasa obiektów geometrycznych, zwana kolektorami Calabi-Yau, która pasuje do rachunku (zobacz ten artykuł, aby dowiedzieć się więcej). I jeden z najprostszych klas Calabi-Yau kolektorów pochodzi z, czekaj na to, K3 powierzchnie, które Ramanujan był pierwszy odkryć.

Ramanujan nigdy nie marzył o tym rozwoju, oczywiście. „Był świrem z formułami i myślę, że konstruował te bliskie przeciw-przykłady do twierdzenia fermata.”mówi Ono., „Rozwinął więc teorię, aby znaleźć te pudła, nie uznając, że maszyna,którą budował, te formuły, które zapisywał, byłyby przydatne dla każdego, kiedykolwiek, w przyszłości.”

Ono nie wyklucza, że rękopisy Ramanujan zawierają dalsze ukryte skarby. „Znam około 1729 roku od trzydziestu lat. To piękny, romantyczny numer. Ramanujan był geniuszem i my wciąż learning o stopniu, w jakim jego twórczość doprowadziła go do hisformulas. Jego praca składa się z jednego pudełka, przechowywanego w Trinity College i trzech zeszytów, przechowywanych na Uniwersytecie w Madrasie. To niewiele., To szalone, że wciąż zastanawiamy się, co miał na myśli. Kiedy to się skończy?”

Czytaj dalej

możesz przeczytać więcej o pracy Ramanujan w znikającym numerze. Dla ekspertów papier Ono i Trebat-Leder jest dostępny tutaj.

About this article

KenOno is Asa Griggs Candler Professor of Mathematics and Computer Science at Emory University.

Sarah Trebat-Leder jest doktorantką w Emory, gdzie jest Woodruff Fellow i NSF Graduate Fellow.

Marianne Freiberger jest redaktorką Plusa. W październiku 2015 przeprowadziła wywiady z Ono i Trebat-Leder.