Ramanujan

egy doboz kéziratot és három jegyzetfüzetet., Ez minden, ami maradt Srinivasa Ramanujan, egy indiai matematikus munkája, aki figyelemre méltó, de rövid életet élt a század elején. Mégis, a matematikai örökség kis rejtekhelye még mindig meglepő. Az Emory Egyetem két matematikusa, KenOno és Sarah Trebat-Leder nemrég lenyűgöző felfedezést tett a megsárgult oldalain. Ez azt mutatja, hogy Ramanujan jobban megelőzte korát, mint bárki más, és gyönyörű kapcsolatot biztosít a matematika történetének számos mérföldköve között. Az egész az 1729-es ártalmatlan számra nyúlik vissza.,

Ramanujan története ugyanolyan inspiráló, mint tragikus. 1887-ben született egy 400 km-es kis falubanmadras (ma Chennai), Ramanujan fiatal korban szenvedélyt fejlesztett ki a matematika iránt, de leginkább egyedül és szegénységben kellett folytatnia. Amíg 1913-ban úgy döntött, hogy alettert írja a híres Cambridge-i szám teoretikusnak, G. H. Hardy-nak. A levélszemét e korai formájához hozzászokva Hardy valószínűleg nem volt hajlandó elküldeni a highlyunorthodox levelet egyenesen a kukába. A szerző zsenialitását felismerve Hardy meghívta Ramanujant Cambridge-be, ahová 1914-ben érkezett., A következő években Ramanujan morethan visszafizette Hardy hitét tehetségében, de részben az angol éghajlat és az élelem miatt rosszul lett. Ramanujan 1919-ben tért vissza Indiába, még mindig gyenge, és a következő évben meghalt, mindössze 32 éves volt. Hardy később leírta együttműködésétramanujan, mint “az egyetlen romantikus esemény az életemben”.

A taxiszám

a romantika az 1729-es számra terjedt ki, amely központi szerepet játszik a Hardy-Ramanujan történetben. “Emlékszem, hogy egyszer meglátogattam, amikor beteg volt Putney-ban” – írta Hardy később., “Az 1729-es taxikabin lovagoltam, és megjegyeztem, hogy ez a szám nekem inkább adull one-nak tűnt, és azt reméltem, hogy ez nem kedvezőtlen előjel. Ez egy nagyon érdekes szám, ez a legkisebb szám, két kocka összegeként két különböző módon.,””WhatRamanujan means that

div id=”3707aba31e”>

az anekdota szerzett száma 1729 hírnevet matematikai körökben, de egészen addig az emberek azt hitték, hogy a furcsa tulajdonság csak egy újabb randomfact Ramanujan végzett az agyában — ugyanúgy, mint egy vonat spotterremembers vonat érkezési idők. Ami azonban Ono és Trebat-Leder felfedezését illeti, az az, hogy ez csak egy jéghegy csúcsa volt., RealityRamanujan elfoglalt volt egy olyan elmélet kidolgozásával, amely több évtizedes múltra tekint vissza, és olyan eredményeket hoz, amelyek még ma is érdekesek a matematikusok számára. Csak nem élt elég ideig ahhoz, hogy közzétegye.

a felfedezés akkor történt, amikor Ono és társ matematikus, Andrew Granville a Cambridge-i Wren könyvtárban őrzött Ramanujan kéziratain dolgoztak. “Közvetlenül thelibrarian íróasztala mellett ültünk, a Ramanujan dobozon keresztül lapozgatva” – emlékszik vissza Ono. “Ezzel az 1729-es két ábrázolással találkoztunk ., Azonnal nevetni kezdtünk.”

Fermat utolsó tétele és közelsége

or

or

and so on.,

1637-ben Pierrede Fermat francia matematikus magabiztosan kijelentette, hogy a válasz nem., Ha a egy egész szám nagyobb, mint a akkor nincs pozitív egész szám háromágyas vagy olyan, hogy

Fermat a margón egy oldal egy könyvet, hogy ő volt “felfedezett egy igazán csodálatos bizonyítéka ez, amely ezt a különbözetet túl szűk tartalmaz”., Természetesen ez az állítás olyan volt, mint a catnip a matematikusoknak, akik ezt követően több mint 350 évig őrültek voltak, megpróbálva megtalálni ezt a “valóban csodálatos bizonyítékot”.,d=”4bd8a19d94″>

vagy

Mivel minden pozitív egész szám háromszoros lehetőség az egyenlet tenné a Fermat azon állítását, (hogy nincs ilyen háromágyas) hamis, Ramanujan volt szegezve egy végtelen család közelében-hiányzik neki, hogy mi lenne ellentétes példa, hogy a Fermat-tétel.,

“egyikünknek sem volt fogalma arról, hogy Ramanujan bármire gondol, ami Fermat utolsó tételéhez kapcsolódik” – mondja Ono. “De itt, egy oldalon, az arccal csillagozva, végtelenül sok ellenpélda volt hozzá, kettő, amely 1729-hez kapcsolódott. Lebuktunk.”Még ma is, közel 400 évvel Fermat állítása után, 20 évvel a forradalom után, csak egy maroknyi matematikus tudott a Ramanujan családról. “Ramanujan tudós vagyok, és nem tudtam róla” – mondja Ono. “Alapvetően senki sem tudta.”

elliptikus görbék és mászók K3.

de ez még nem minden., Amikor Ono, valamint a végzős diák SarahTrebat-Leder úgy döntött, hogy tovább vizsgálják, hogy más oldalak inRamanujan munka, megtalálták volt kifejlesztett egy sophisticatedmathematical elmélet, hogy túlment minden sejtette. “Sarah és én sokkal mélyebben gondolkodtunk azon, hogy Ramanujan mit tett, és kiderült, hogy 30-40 évvel előre számított, mielőtt bárki is tudta volna, hogy ez a mező létezni fog. Ez az, amit mi vagyunkizgalmas.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Ha a pontokat ábrázolja, amelyek megfelelnek egy ilyen egyenletnek (a és megadott értékekre) egy koordinátarendszerben elliptikus görbének nevezett alakot kap (a pontos meghatározás kissé nagyobb, lásd itt). Az Ellipticcurves fontos szerepet játszott a Fermat utolsó tételének bizonyítékában,amelyet az 1990-es években AndrewWiles matematikus szállított.

Ono és Trebat-Leder úgy találták, hogy Ramanujan is az elliptikus görbék közé tartozott., Nem számította előre az útotwiles, hanem felfedezett egy objektumot, amely több, mint elliptikus görbék. Amikor az ilyen jellegű tárgyakat újra felfedezték arösztöbb év múlva a K3 felületek nevét díszítették-ErnstKummer, ErichKähler és KunihikoKodaira matematikusok tiszteletére, valamint a K2 hegyre, amelyet ugyanolyan nehéz mászni, mint a k3surfaces-t matematikailag nehéz kezelni.

az, hogy Ramanujannak fel kellett volna fedeznie és meg kellett volna értenie egy rendkívül bonyolult K3 felületet, önmagában is figyelemre méltó., De a felszínen végzett munkája váratlan ajándékot adott Ono – nak és Trebat-Ledernek is, amely az elliptikus görbékhez kapcsolódik. Mint minden egyenlet, minden elliptikus görbe egyenlet

természetesen kiált megoldások: pár számok , amelyek megfelelnek az egyenletnek., A Fermat szellemében kereshet teljes számmegoldásokat, de a számelméletezők általában egy kicsit több mozgásteret adnak maguknak. Olyan megoldásokat keresnek, amelyek racionális számok, vagyis olyan számok, amelyeket frakcióként lehet írni.

tavaly, 2014-ben Manjul Bhargava matematikus elnyerte a Fields-érmet, a matematika egyik csúcspontját, az ezzel kapcsolatos jelentős előrelépésért. Bhargavashowed, hogy a legtöbb elliptikus görbe két különösen egyszerű osztály egyikébe tartozik. Vagy csak végtelenül sok racionális számmegoldás létezik; vagy végtelenül sok, de van egy recept, amely mindegyiket egyetlen racionális számmegoldásból állítja elő. (A Bhargavával készült interjúnkat és cikkünket elolvashatja, amely néhány munkáját vizsgálja.,)

Ha az összes elliptikus görbét szisztematikusan szitálja, például a és állandók méretének megfelelően, amelyek a képletekben jelennek meg, akkor valószínűleg csak Valaha találkoznak ezekkel az “egyszerű” elliptikus görbékkel. Annak a valószínűsége, hogy bonyolultabb megoldást talál, amely két vagy három megoldást igényel mindegyik létrehozásához, nulla. Az ilyen elliptikus görbék szisztematikus keresése olyan, mint egy tű szénakazalának keresése oly módon, hogy garantálja, hogy a tű mindig átcsúszik a hálón., A bonyolultabb elliptikus görbékhez egy másik módszerre van szükség.

és pontosan ez az, amivel Ramanujan előállt. A K3-as felületen végzett munkája során az Ono és a Trebat-Leder segítségével nem csak egy, hanem végtelenül sok elliptikus görbét készített, amelyek két – három megoldást igényeltek az összes többi megoldáshoz. Ez nem az első módszer, amelyet találtak, de nem volt szükség erőfeszítésre. “A világrekordot kötöttük a problémára, de nem kellett komoly emelést végeznünk” – mondja Ono. “Wedid a semmi mellett, kivéve, hogy felismerje, mit tett Ramanujan.,”

fizika és extra méretek

van még egy érdekes csavar a történetben. Míg Ramanujan a számelmélet absztrakt birodalmaiban dolgozott, a fizikusok a valós jelenségeket tanulmányozva elkezdték kidolgozni a kvantummechanika elméletét. Bár önmagában diadalmaskodott, hamarosan világossá válthogy az eredményül kapott kvantumfizika a meglévő fizikai elméletekkel ellentmondás nélkül összecsapott. A szakadás még mindig nem gyógyult meg ésmegjeleníti a huszonegyedik századi fizika legnagyobb problémáját(lásd itt, hogy többet megtudjon)., A helyzet megmentésének egyik kísérlete az voltaz 1960-as években kezdődött fejlesztés, a húrelmélet, a “minden elmélete” primecandidate-je, amely egyesíti a modern fizika eltérő rétegeit.

a húrelmélet furcsa előrejelzése az, hogy a világ, amelyben élünk, több, mint a három térbeli dimenzió. A méreteket, amiket nem látunk, apró kis terekben tekerjük fel, túl kicsiben ahhoz, hogy észrevegyük., Az elmélet szerint ezeknek az apró kis tereknek sajátos geometriájuk van. Van egy geometriai objektumok osztálya, az úgynevezettcalabi-Yau Elosztók, amelyek megfelelnek a számlának (lásd ezt a cikket, hogy többet megtudjon). A Calabi-Yau Elosztók egyik legegyszerűbb osztálya származik, várjon rá, K3 felületek, amelyeket Ramanujan elsőként fedezett fel.

Ramanujan természetesen soha nem álmodhatott volna erről a fejlődésről. “Ő volt a whiz képletekkel, és azt hiszem, hogy építeni azokat a Közel ellenpéldák Fermat’slast tétel.”mondja Ono., “Tehát kidolgozta az elméletet, hogy megtalálja ezeket a hiányosságokat, anélkül, hogy felismerné, hogy őképületet épít, azok a képletek,amelyeket leírtak, hasznosak lehetnek bárki számára, valaha, a jövőben.”

Ono nem zárja ki, hogy Ramanujan kéziratai további kincseket tartalmaznak. “Harminc éve ismerem az 1729-et. Ez egy szép, romantikus szám. Ramanujan zseni volt, és még mindig azon gondolkodunk, hogy a kreativitása milyen mértékben vezette őt az ő formuláihoz. Munkája egy doboz, amelyet a Trinity College-ban tartottak, éshárom jegyzetfüzet, amelyet a Madras Egyetemen tartottak. Az nem sok., Őrület, hogy még mindig kitaláljuk, mire gondolt. Mikor lesz vége?”

további olvasmányok

a Ramanujan munkájáról eltűnő számban olvashat bővebben. Szakértők számára az Ono és a Trebat-Leder dolgozata itt érhető el.

erről a cikkről

KenOno Griggs Candler matematika-és Számítástudományi professzor az Emory Egyetemen.

Sarah Trebat-Leder az Emory PhD hallgatója, ahol Woodruff ösztöndíjas és NSF végzős.

Marianne Freiberger a Plus szerkesztője. 2015 októberében interjút készített Onóval és Trebat-Lederrel.