Ramanujan overraskelser igjen

En boks av manuskripter og tre bærbare pc-er., Det er alt som er igjen ofthe arbeidet med Srinivasa Ramanujan, en Indisk matematiker som livedhis bemerkelsesverdig, men korte liv rundt begynnelsen av thetwentieth-tallet. Likevel, som små stash av matematiske arven stillyields overraskelser. To matematikere av Emory University, KenOno og Sarah Trebat-Leder,har nylig gjort en fascinerende oppdagelse i sin gulnede sider. Det showsthat Ramanujan var videre forut for sin tid enn noen hadexpected, og gir en vakker kobling mellom flere milepæler i historien ofmathematics. Og det hele går tilbake til den uskyldige utseende antall 1729.,

Ramanujan historie er like inspirerende som det er tragisk. Født i 1887 i en liten landsby rundt 400 km fromMadras (nå Chennai), Ramanujan utviklet en lidenskap for matematikk i ung alder, men hadde til å utøve det for det meste alene og i fattigdom. Før, i 1913, og han bestemte seg for å skrive aletter til den berømte Cambridge antall teoretiker G. H. Hardy. Accustomedto dette tidlig form av spam, Hardy har kanskje beenforgiven for utsendelsen av highlyunorthodox brev direkte til kassen. Men hedidn ikke. Erkjennelsen av forfatterens geni, Hardy invitert Ramanujan til Cambridge,hvor han kom i 1914., I løpet av de neste årene, Ramanujan morethan tilbakebetalt Hardy tro på hans talent, men led under dårlig helse på grunn, delvis, til thegrizzly norsk klima og mat. Ramanujan vendte tilbake til India in1919, fortsatt er svak, og diedthe følgende år, alderen bare 32. Hardy senere beskrevet sitt samarbeid withRamanujan som «en romantisk hendelse i mitt liv».

taxi-cab antall

romantikken gnidd vekk på antall 1729, som spiller acentral rolle i Hardy-Ramanujan historie. «Jeg husker at jeg en gang kommer til å se når han var syk i Putney,» Hardy skrev senere., «Jeg hadde kjørt i taxicab antall 1729 og bemerket at antall virket for meg heller adull en, og at jeg håpet det ikke var en slags varsel. ‘Nei’, hereplied, ‘det er en veldig interessant tall, det er den minste numberexpressible som summen av to terninger på to forskjellige måter.,'» WhatRamanujan ment er at

anekdote økt antall 1729 fame i matematiske kretser, men untilrecently folk trodde nysgjerrig eiendom var bare en annen randomfact Ramanujan gjennomført om i hjernen hans — mye som et tog spotterremembers tog ankomst ganger. Hva Ono og Trebat-Leder er discoveryshows, imidlertid, er at det var bare toppen av et is-berg., I realityRamanujan hadde vært opptatt med å utvikle en teori at det var flere tiår aheadof sin tid og gir resultater som er interessante for matematikere selv i dag. Han hadde bare ikke leve lenge nok til å publishit.

oppdagelsen kom da Ono og andre matematikeren Andrew Granville wereleafing gjennom Ramanujan er manuskripter, holdt ved Wren Library atTrinity College, Cambridge. «Vi satt rett ved siden av thelibrarian har skrivebord, blar side av pagethrough den Ramanujan safe,» minnes Ono. «Vi kom over denne onepage som var på de to representasjoner av 1729 ., Vi begynte å le umiddelbart.»

fermats siste teorem og nestenulykker

or

or

and so on.,

I 1637 den franske matematikeren Pierrede Fermat ‘ tillitsfullt hevdet at svaret er nei., Hvis er et helt tall større enn så er det ingen positive hele tall tremannsrom og slik at

Fermat ‘ rablet ned i margen på en side i en bok at han hadde «oppdaget en virkelig fantastisk bevis på dette, som denne marginen er for smal til å inneholde»., Naturligvis, denne påstanden var som catnip å matematikere, som deretter kjørte seg gal, for over 350 år, prøver å finne denne «virkelig fantastisk bevis».,d=»4bd8a19d94″>

eller

Siden alle positive hele tall trippel tilfredsstille ligningen ville gjøre fermat ‘ s påstand (at det er ingen slike tripler) forfalskning, Ramanujan hadde låst ned i en uendelig familie av nestenulykker av hva som ville være counter-eksempler for fermats siste teorem.,

«Ingen av oss hadde noen anelse om at Ramanujan var å tenke på noe relatert til fermats siste teorem,» sier Ono. «Men her på en side, staringus i ansiktet, var uendelig mange nærheten counter-eksempler til det, twoof som happento være relatert til 1729. Vi var floored.»Selv i dag,nesten 400 år etter at fermat’ s krav og 20 år etter itsresolution, er bare en håndfull av matematikere engang vet om thefamily Ramanujan hadde kommet opp med. «Jeg er en Ramanujan lærd og jeg var ikke klar over at ofit, sier Ono. «I utgangspunktet er det ingen som visste.»

Elliptiske kurver og klatring K3.

Men dette er ikke alt., Når Ono og hans graduate student SarahTrebat-Leder bestemte seg for å undersøke nærmere, ser på andre sider inRamanujan arbeid, fant de han hadde utviklet en sophisticatedmathematical teori som gikk utover noe folk hadde mistanke om. «Sarah og jeg har brukt tid på å tenke dypere om hva Ramanujan hadreally gjort, og det viser seg at han forventet matematiske 30 eller 40years før noen visste dette feltet ville eksistere. Det er hva vi areexcited om.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Hvis du plotte punktene som tilfredsstiller en slik ligning (for gitte verdier av og ) i et koordinatsystem, kan du få en figur som kalles en elliptic curve (den presise definisjonen er litt moreinvolved, se her). Ellipticcurves spilt en viktig rolle i den endelige bevis for fermats siste teorem,som ble levert i 1990-årene av matematikeren AndrewWiles.

Ono og Trebat-Leder fant at Ramanujan hadde også dykket ned i thetheory av elliptiske kurver., Han gjorde ikke forutse banen tatt byWiles, men i stedet oppdaget et objekt som er morecomplicated enn elliptiske kurver. Når objekter av denne typen ble gjenoppdaget aroundforty år senere ble de pyntet med navnet ofK3 overflater — i ære av matematikere ErnstKummer, ErichKähler og KunihikoKodaira, og fjellet K2, som er så vanskelig å klatre så K3surfaces er vanskelig å håndtere matematisk.

Som Ramanujan burde ha oppdaget og forstått på et meget komplisert K3 overflaten er i seg selv bemerkelsesverdig., Men hans arbeid på overflaten også gitt en uventet gave til Ono og Trebat-Leder, som lenker tilbake til elliptiske kurver. Som alle ligninger, noen elliptic curve ligningen

naturlig roper på løsninger: parene av tall som tilfredsstiller ligningen., I ånden av Fermat’, du kan se ut for hele tall løsninger, men antall teoretikere vanligvis gi seg selv litt mer spillerom. De ser etter løsninger som er rasjonale tall, som er tall som kan skrives som brøker.

Siste år, i 2014, matematiker Manjul Bhargava vant Felt Medalje, en av de highesthonours i matematikk, for stor fremgang i denne sammenheng. Bhargavashowed at de fleste elliptiske kurver falle i en av to spesielt enkel klasser. Enten det er bare finitely mange rasjonale tall løsninger, eller det er uendelig mange, men det er en oppskrift som produserer alle av dem fra kun en enkelt rasjonell løsning. (Du kan lese vårt intervju med Bhargava og vår artikkel for å utforske noen av hans arbeid.,)

Hvis du sile gjennom alle elliptiske kurver på en systematisk måte, for eksempel ved å bestille dem i henhold til størrelsen av konstanter og som vises i sine formler, så er du mest sannsynlig bare noen gang kommer til å komme over disse «enkle» elliptiske kurver. Sannsynligheten for å finne et mer komplisert, noe som krever to eller tre løsninger for å generere dem alle, er null. Søker etter slike elliptiske kurver systematisk er som å søke i en høystakk for en nål på en måte som garanterer at nålen vil alltid slippe gjennom nettet., For å få til de mer kompliserte elliptiske kurver, trenger du en annen metode.

Og dette er akkurat hva Ramanujan kom opp med. Hans arbeid på K3 overflate hediscovered gitt Ono og Trebat-Leder med en metode for å produsere, ikke bare én, men uendelig mange ellipticcurves krever to eller tre løsninger til å generere alle othersolutions. Det er ikke den første metoden som har blitt funnet, men det kreves ingen innsats. «Vi bandt verdensrekord på problemet , men vi hadde’thave å gjøre noen tunge løft, sier Ono. «Wedid nesten ingenting, bortsett fra gjenkjenne hva Ramanujan gjorde.,»

Fysikk og ekstra dimensjoner

Det er en annen interessant vri på denne historien. Mens Ramanujanwas arbeider i det abstrakte rikene på tallteori, physicistsstudying reelle fenomener begynte å utvikle teorien om quantummechanics. Selv om en triumf i sin egen rett, det ble snart clearthat den resulterende kvantefysikken kolliderte med eksisterende fysiske teorier i en unredeemable måte. Rift fortsatt ikke har blitt helbredet andpresents det største problemet tjueførste århundre fysikk (se hertil finn ut mer)., Ett forsøk på å redde situasjonen var thedevelopment, startet i 1960-årene, strengteori, en primecandidate for en «teori om alt», som forener de ulike strandsof moderne fysikk.

En nysgjerrig prediksjon av streng teori er at den verden vi lever inconsists av mer enn tre romlige dimensjonene kan vi se. Theextra dimensjoner, de vi ikke kan se, er rullet uptightly i små steder som er for små for oss å oppfatte., Den theorydictates at de bitte små områder har en bestemt geometricstructure. Det er en klasse av geometriske objekter, calledCalabi-Yau mangfoldigheter, som passer regningen (se denne artikkelen for å finne ut mer). Og en av de enkleste klasser av Calabi-Yau mangfoldigheter kommer fra, vent til det,K3 flater, som Ramanujan var den første til å oppdage.

Ramanujan aldri kunne ha drømt om denne utviklingen, selvfølgelig. «Han var en trollmann med formler og jeg tror på å konstruere de nærheten counter-eksempler til Fermat’ ‘slast teorem.»sier Ono., «Så hedeveloped en teori for å finne thesenear savner, uten å anerkjenne at det themachine han var bygningen, de formlene som han skrev ned,ville være nyttig for noen, noen gang, i fremtiden.»

Ono ikke utelukke at Ramanujan er manuskripter inneholder furtherhidden skatter. «Jeg har kjent om 1729 i tretti år. Det er en nydelig, romanticnumber. Ramanujan var et geni, og vi er stilllearning om i hvilken grad hans kreativitet førte ham til hisformulas. Hans arbeid utgjør en boks, holdt ved Trinity College, andthree bærbare pc-er, holdt ved Universitetet i Madras. Det er ikke mye., Det er sprøtt at vi fortsatt er å finne outwhat han hadde i tankene. Når det kommer til å ende?»

Mer å lese

Du kan lese mer om arbeidet Ramanujan i Et forsvinnende antall. For eksperter, Ono og Trebat-Leder er papiret er tilgjengelig her.

Om denne artikkelen

KenOno er Asa Candler-Griggs Professor i Matematikk og informatikk ved Emory University.

Sarah Trebat-Leder er PhD-student ved Emory, hvor hun er en Woodruff Andre og NSF Graduate Andre.

Marianne Freiberger er Redaktør i Pluss. Hun har intervjuet Ono og Trebat-Leder i oktober 2015.