ラマヌジャンは再び驚きます

原稿の箱と三つのノートブック。, それはSrinivasa Ramanujan、生きていたインドの数学者の仕事の残っているすべてです彼の驚くべきしかし短い人生thetentieth世紀の初めの周り。 しかし、数学的遺産のその小さな隠し場所はまだ驚きです。 エモリー大学の二つの数学者、KenOnoとサラTrebat-Lederは、最近、その黄ばんだページ内の魅力的な発見をしました。 それはラマヌジャンが誰よりも先に彼の時間のさらに先にあったshowsthat hadexpected、と歴史ofmathematicsの中でいくつかのマイルストーン間の美しいリンクを提供します。 そして、それはすべて無害に見える番号1729に戻ります。,

ラマヌジャンの物語は悲劇的であるほど感動的です。 1887年にマドラス（現在のチェンナイ）から約400キロの小さな村で生まれ、ラマヌジャンは若い頃に数学のための情熱を開発しましたが、ほとんど一人で、貧困の中でそれを追求しなければなりませんでした。 まで、1913年に、彼は有名なケンブリッジ数理学者G.H.ハーディにaletterを書くことにしました。 この初期の形式のスパムに慣れているハーディは、高度に非正統的な文字をビンに直接派遣するために忘れられていたかもしれません。 しかし、著者の天才を認識し、ハーディはラマヌジャンをケンブリッジに招待し、1914年に到着しました。, その後の数年間、ラマヌジャン-モレサンはハーディの才能に対する信仰を返済したが、部分的にはイングランドの気候と食糧のために病気に苦しんだ。 ラマヌジャンは1919年にインドに戻り、まだ弱く、翌年にわずか32歳で亡くなった。 ハーディは後にラマヌジャンとのコラボレーショ

タクシー-タクシー番号

ロマン主義は、ハーディ-ラマヌジャン物語の中心的役割を果たしている番号1729にこすり落としました。 “私はかつて彼がパトニーで病気だったときに見に行く覚えている、”ハーディは後で書いた。, “私はタクシー番号1729に乗っていたし、数は私にはむしろadull一つに見えたことを述べました,そして、私はそれが不利な前兆ではなかったことを望んでい “いいえ”、ここでは、”それは非常に興味深い数であり、それは二つの異なる方法で二つの立方体の合計として圧縮可能な最小の数です。,'”ラマヌジャンが意味するのは、

逸話は数学界で1729の名声を得ましたが、最近まで人々はその好奇心の性質が彼の脳の中で運ばれたちょうど別のランダムファクトラマヌジャンであると信じていました—列車のスポッター remembers列車の到着時間のようなものでした。 しかし、小野とTrebat-Lederの発見示しているのは、それが氷のベルクの先端に過ぎなかったということです。, 実際には、ラマヌジャンは数十年前の理論を開発するのに忙しく、今日でも数学者にとって興味深い結果をもたらしていました。 彼はちょうど出版するのに十分な長さを生きていませんでした。

この発見は、小野と仲間の数学者アンドリュー-グランヴィルが、ケンブリッジ大学のレン図書館に保管されていたラマヌジャンの写本を発見したことによって起こった。 “私たちはラマヌジャンの箱を通してページをめくって、リブラリアンの机のすぐ隣に座っていました”と小野は回想します。 “私たちは、その上に1729年の二つの表現を持っていたこのonepageに出くわしました。, 私たちはすぐに笑い始めた。”

フェルマーの最後の定理とニアミス

or

or

and so on.,

1637年、フランスの数学者Pierrede Fermatは自信を持って答えはnoであると主張しました。, がより大きい整数である場合、正の整数トリプルはありませんおよび

フェルマーは、彼が”このマージンが狭すぎて含めることができないこれの本当に素晴らしい証拠を発見した”という本のページの余白に走り書きし, 当然のことながら、この主張は数学者にとってキャットニップのようなものであり、350年以上にわたって、この”本当に素晴らしい証明”を見つけようと,d=”4bd8a19d94″>

または

方程式を満たす正の整数トリプルはフェルマーのアサーションをレンダリングするためラマヌジャンは、フェルマーの最後の定理に対する反例となるものの無限のニアミスの族を固定していました。,

“ラマヌジャンがフェルマーの最終定理に関連することを考えているということは誰も考えていませんでした”と小野は言います。 “しかし、ここでは、ページ上で、顔のstaringusは、それに無限に多くの近くの反例であり、1729年に関連することが起こっているtwoofでした。 私たちは床に置かれました。”今日でも、フェルマーの主張から約400年後、そしてその解析後20年後、ラマヌジャンの家族について知っている数学者はほんの一握りです。 “私はラマヌジャンの学者であり、それを知らなかった”と小野は言う。 “基本的に、誰も知らなかった。”

楕円曲線とk3を登ります。

しかし、これがすべてではありません。, 小野と彼の大学院生SarahTrebat-Lederがさらに調査することを決めたとき、ramanujanの作品の他のページを見ると、彼は人々が疑っていたものを超えた洗練された数学の理論を開発したことがわかりました。 “サラと私はラマヌジャンが本当にやったことについてもっと深く考える時間を費やしましたが、誰もがこの分野が存在することを知っていた30年か40年前に彼は数学を予想していたことが判明しました。 それは私たちが興奮しているものです。,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., このような方程式（与えられた値に対しておよび）を座標系で満たすポイントをプロットすると、楕円曲線と呼ばれる形状が得られます（正確な定義は少し複雑です、こちらを参照してください）。 楕円曲線は、1990年代に数学者AndrewWilesによって提供されたフェルマーの最終定理の最終的な証明に重要な役割を果たしました。

OnoとTrebat-Lederは、Ramanujanが楕円曲線の理論を掘り下げていたことを発見しました。, 彼はバイワイルズが取った経路を予想していなかったが、代わりに楕円曲線よりも複雑な物体を発見した。 この種の物体が数年後に再発見されたとき、彼らは数学者ErnstKummer、ErichKähler、Kunihikokodiraに敬意を表してk3曲面の名前で飾られ、k2はk3曲面と同じくらい登るのが難しい山である。

ラマヌジャンが非常に複雑なK3表面を発見し、理解すべきであったことは、それ自体が驚くべきことです。, しかし、表面上の彼の作品はまた、楕円曲線に戻ってリンク小野とTrebat-Lederに予想外の贈り物を提供しました。 すべての方程式と同様に、任意の楕円曲線方程式

自然にソリューションのために叫ぶ：数のペア方程式を満たす。, フェルマーの精神では、整数解を探すかもしれませんが、数理学者は通常、もう少し余裕を持っています。 彼らは有理数である解、つまり分数として書くことができる数を探します。

昨年、2014年に、数学者Manjul Bhargavaは、この文脈での主要な進歩のために、数学のhighesthonoursの一つであるFields Medalを受賞しました。 Bhargavashowedる楕円曲線下落の中心に簡単なる。 有限個の有理数解しかありません;または無限に多くありますが、単一の有理数解からそれらのすべてを生成するレシピがあります。 （あなたはBhargavaとのインタビューと彼の仕事のいくつかを探る私たちの記事を読むことができ,たとえば、数式に表示される定数およびのサイズに従ってそれらを順序付けるなど、体系的な方法ですべての楕円曲線をふるいにかけると、これらの”単純な”楕円曲線に遭遇する可能性が最も高いです。 より複雑なものを見つける確率は、それらをすべて生成するために二つまたは三つの解を必要としますが、ゼロです。 このような楕円曲線を体系的に検索することは、針が常にネットを滑り落ちることを保証する方法で針の干し草の山を検索するようなものです。, これらのより複雑な楕円曲線を取得するには、別の方法が必要です。

そして、これはまさにラマヌジャンが思いついたものです。 Hediscovered K3表面に関する彼の研究は、OnoとTrebat-Lederに、一つだけでなく、他のすべてのソリューションを生成するために二、三のソリューションを必要とする無限に多くの楕円曲線を生成する方法を提供した。 それは見つかった最初の方法ではありませんが、努力は必要ありませんでした。 “問題に関しては世界記録を結んだが、重いリフティングを行うことはできなかった”と小野氏は言う。 “私たちはラマヌジャンが何をしたかを認識する以外は何もしませんでした。,”

物理学と余分な次元

この物語にはもう一つの興味深いひねりがあります。 Ramanujanは数論の抽象的な領域で働いていたが、物理学者実世界の現象を研究することは、量子力学の理論を開発し始めた。 それ自体では勝利でしたが、すぐに結果として得られる量子物理学は、既存の物理理論と絶え間ない方法で衝突したことが明らかになりました。 裂け目はまだ治癒されておらず、二十一世紀の物理学の最大の問題を表しています（ここを参照してください）。, この状況を救うための一つの試みは、1960年代に始まった弦理論の開発であり、現代物理学の異なるストランドを結びつける”すべての理論”のための

弦理論の興味深い予測は、私たちが住んでいる世界は、私たちが見ることができる三つの空間次元よりも矛盾しているということです。 私達が見ることができないTheextra次元は私達が感知するにはには余りにも小さい小さいスペースでuptightly転がる。, この理論は、これらの小さな小さな空間には特定の幾何構造があるということを示している。 幾何学的なオブジェクトのクラスがありますcalabi-Yau多様体は、法案に適合しています（詳細はこの記事を参照してください）。 そして、カラビ-ヤウ多様体の最も単純なクラスの一つは、Ramanujanが最初に発見したK3曲面から来ています。

ラマヌジャンはもちろん、この開発を夢見ることはできませんでした。 “彼は公式を持つ達人であり、私はフェルマーの最後の定理に反例に近いものを構築すると思います。”小野さんは言います。, “だから、彼が構築していたマシン、彼が書き留めていた数式が、将来、誰にとっても役に立つことを認識せずに、これらのミスを見つけるための理論を”

小野は、ラマヌジャンの写本にはさらに隠された宝物が含まれていることを排除していません。 “私は三十年間1729年について知っていました。 それは素敵な、ロマンチックな番号です。 Ramanujanは天才であり、私たちはまだ彼の創造性が彼を彼に導いた程度について学ぶフォーミュラ。 彼の作品は、トリニティ-カレッジに保管されていた一つの箱と、マドラス大学に保管されていた三つのノートに相当する。 それは多くない。, 私たちはまだ彼が心に持っていたものを考え出しているのはおかしいです。 それはいつ終わるのですか？”

さらに読む

あなたは消える数でラマヌジャンの仕事についての詳細を読むことができます。 専門家のために、OnoとTrebat-Lederの論文がここにあります。

この記事について

KenOnoは、エモリー大学の数学とコンピュータサイエンスのAsa Griggs Candler教授です。

Sarah Trebat-LederはEmoryの博士課程の学生であり、彼女はWoodruff FellowとNSF Graduate Fellowです。

マリアンヌ-フライベルガーはプラスのエディターです。 2015年に小野とトレバット-レーダーにインタビューを行った。