Ramanujan overraskelser igen

en kasse med manuskripter og tre notesbøger., Det er alt, hvad der er tilbage af Srinivasa Ramanujans arbejde, en indisk matematiker, der levede sit bemærkelsesværdige, men korte liv omkring begyndelsen af det tyvende århundrede. Alligevel overrasker den lille stash af matematisk arv stadigyields. To matematikere Emory University, KenOno og Sarah Trebat-Leder,har for nylig lavet en fascinerende opdagelse i sine gulnede sider. Det viser, at Ramanujan var længere forud for sin tid, end nogen havde forventet, og giver en smuk forbindelse mellem flere milepæle i historien ommatematik. Og det hele går tilbage til det uskadelige udseende nummer 1729.,Ramanujans historie er lige så inspirerende som den er tragisk. Født i 1887 i en lille landsby omkring 400 km framadras (nu Chennai), Ramanujan udviklet en passion for matematik i en ung alder, men måtte forfølge det meste alene og i fattigdom. Indtil i 1913 besluttede han at skrive aletter til den berømte Cambridge nummer teoretiker G. H. Hardy. Vant til denne tidlige form for spam, Hardy kunne have været givet til afsendelse af det højt uortodokse brev direkte til skraldespanden. Men hedidn ‘ t. anerkendelse forfatterens geni, Hardy inviteret Ramanujan til Cambridge, hvor han ankom i 1914., I løbet af de følgende år, Ramanujan mereend tilbagebetalt Hardy ‘ s tro på hans talent, men lidt dårligt helbred skyldes dels thegri..ly engelsk klima og mad. Ramanujan vendte tilbage til Indien i 1919, stadig svag, og døde det følgende år, kun 32 år gammel. Hardy beskrev senere sit samarbejde medramanujan som”den ene romantiske hændelse i mit liv”.

ta .a-førerhus nummer

romantikken gnides af på nummeret 1729, som spiller en central rolle i Hardy-Ramanujan-historien. “Jeg kan huske, at jeg engang skulle se, da han var syg hos Putney,” skrev Hardy senere., “Jeg havde redet i Ta .a nummer 1729 og bemærket, at tallet forekom mig temmelig Adul en, og at jeg haabede, at det ikke var et ugunstigt tegn. ‘Nej’, hereplied ,’ det er et meget interessant tal; det er den mindste numbererespressible som summen af to terninger på to forskellige måder.,'” WhatRamanujan betød, at

Den anekdote fået antallet 1729 berømmelse i matematiske kredse, men untilrecently folk mente, at dets nysgerrig ejendom var bare en anden randomfact Ramanujan foretaget om i hans hjerne — meget gerne et tog spotterremembers tog ankomst gange. Hvad Ono og Trebat-Leder ‘ s discoverysho .s er imidlertid, at det bare var spidsen af en isbjerg., I realityRamanujan havde haft travlt med at udvikle en teori, der var flere årtier aheadof sin tid og giver resultater, som er interessante for matematikere selv i dag. Han levede bare ikke længe nok til at offentliggøre det.

opdagelsen kom, da Ono og kollega matematiker andre.Granvilleeaereleafing gennem Ramanujan ‘ s manuskripter, holdt på Libraryren Library atTrinity College, Cambridge. “Vi sad lige ved siden af thelibrarian skrivebord, spejlvende side ved pagethrough Ramanujan boksen,” minder Ono. “Vi stødte på denne onepage, der havde på den de to repræsentationer fra 1729 ., Vi begyndte at grine med det samme.”

Fermat ‘ s last theorem, og near miss

or

or

and so on.,

I 1637 den franske matematiker Pierrede Fermat trygt hævdede, at svaret er nej., Hvis er et heltal, der er større end så er der ingen positive hele tal tredobler og sådan, at

Fermat skrevet i marginen på en side i en bog, at han havde “opdaget en virkelig fantastisk bevis for dette, som denne margin er for snæver til at indeholde”., Naturligvis denne påstand var ligesom catnip til matematikere, der efterfølgende kørte sig vanvittigt, i over 350 år, forsøger at finde denne “virkelig fantastisk bevis”.,d=”4bd8a19d94″>

eller

Da alle positive hele tal triple opfylder ligningen ville gøre Fermat ‘ s påstand (at der er ikke sådan tripler) falske, Ramanujan havde holdt nede, en uendelig familie af near-misses af, hvad der ville være counter-eksempler til Fermats sidste sætning.,

“ingen af os havde nogen ID.om, at Ramanujan tænkte på noget, der var relateret til Fermats sidste sætning,” siger Ono. “Men her på en side, staringus i ansigtet, var uendeligt mange nær counter-eksempler til det, twoof som happento være relateret til 1729. Vi var floored.”Selv i dag,næsten 400 år efter Fermats påstand og 20 år efter densresolution, kun en håndfuld matematikere selv vide omfamilien Ramanujan var kommet op med. “Jeg er en Ramanujan-lærd, og jeg var ikke klar over det,” siger Ono. “Dybest set vidste ingen.”

elliptiske kurver og klatring K3.

men det er ikke alt., Når Ono og hans ph.d. – studerende SarahTrebat-Leder besluttede at undersøge det nærmere, ser på andre sider inRamanujan arbejde, de fandt, at han havde udviklet en sophisticatedmathematical teori, der gik ud over noget, folk havde mistanke om. “Sarah og jeg brugt tid på at tænke dybere over, hvad Ramanujan hadreally gjort, og det viser sig, at han forventede matematiske 30 eller 40years, før nogen vidste, at dette område ville eksistere. Det er det, vi erspændte over.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Hvis du plotte punkter , der opfylder en sådan ligning (for givne værdier af og ) i et koordinatsystem, får du en form, der kaldes en elliptisk kurve (den præcise definition er lidt moreinvolved, se her). Ellipticcurves spillede en vigtig rolle i det eventuelle bevis på Fermats sidste sætning,som blev leveret i 1990 ‘ erne af matematikeren andre..iles.

Ono og Trebat-Leder fandt, at Ramanujan også havde dykket ned i theory af elliptiske kurver., Han havde ikke forudse den vej, byilesiles, men i stedet opdagede et objekt, der er morecomplicated end elliptiske kurver. Når objekter af denne type blev genopdaget aroundforty år senere blev de pyntet med navnet ofK3 overflader — til ære for matematikere ErnstKummer, ErichKähler og KunihikoKodaira, og bjerget K2, som er så svære at bestige som K3surfaces er vanskelige at håndtere matematisk.

at Ramanujan burde have opdaget og forstået en overordentlig kompliceret K3-overflade er i sig selv bemærkelsesværdig., Men hans arbejde på overfladen gav også en uventet gave til Ono og Trebat-Leder, som forbinder tilbage til elliptiske kurver. Ligesom alle ligninger, enhver elliptisk kurve ligning

naturligvis skriger til løsninger: par numre , der opfylder ligningen., I Fermats ånd kan du se efter hele talløsninger, men nummerteoretikere giver sig normalt lidt mere spillerum. De ser efter løsninger, der er rationelle tal, det vil sige tal, der kan skrives som fraktioner.

sidste år, i 2014, vandt matematikeren Manjul Bhargava Fields-medaljen, en af de højeste i matematik, for store fremskridt i denne sammenhæng. Bhargavviste, at de fleste elliptiske kurver falder ind i en af to særligt enkle klasser. Enten er der kun finitely mange rationelle antal løsninger; eller der er uendeligt mange, men der er en opskrift, der producerer dem alle fra blot en enkelt rationel antal løsning. (Du kan læse vores intervie.med Bhargava og vores artikel udforske nogle af hans arbejde.,)

Hvis du finkæmme gennem alle elliptiske kurver på en systematisk måde, for eksempel ved at bestille dem i forhold til størrelsen af de konstanter og , der vises i deres formler, så er du sandsynligvis kun nogensinde vil komme på tværs af disse “simple” elliptiske kurver. Sandsynligheden for at finde en mere kompliceret, som kræver to eller tre løsninger til at generere dem alle, er nul. At søge efter sådanne elliptiske kurver systematisk er som at søge en høstak efter en nål på en måde, der garanterer, at nålen altid glider gennem nettet., For at få de mere komplicerede elliptiske kurver, har du brug for en anden metode.

og det er præcis, hvad Ramanujan kom op med. Hans arbejde på K3 overflade hediscovered forudsat Ono og Trebat-Leder med en metode til at producere, ikke bare én, men uendeligt mange ellipticcurves, der kræver to eller tre løsninger til at generere alle othersolutions. Det er ikke den første metode, der er fundet, men det krævede ingen indsats. “Vi bandt verdensrekorden på problemet , men vi gjorde detteskal gøre noget tungt løft,” siger Ono. “Weedide næsten ingenting, undtagen genkende hvad Ramanujan gjorde.,”

fysik og ekstra dimensioner

Der er et andet interessant t .ist til denne historie. Mens Ramanujanvar arbejder i de abstrakte riger af talteori, fysikerstudere virkelige fænomener begyndte at udvikle teorien om kvantummekanik. Selv om en triumf i sig selv blev det hurtigt klartat den resulterende kvantefysik kolliderede med eksisterende fysiske teorier på en umulig måde. Rift er stadig ikke blevet helbredt ogpræsenterer det største problem med enogtyvende århundredes fysik (se her for at finde ud af mere)., Et forsøg på at redde situationen var The development, startede i 1960 ‘ erne, af string theory, En primecandidate for en “theory of everything” forener de forskellige strenge af moderne fysik.

en nysgerrig forudsigelse af strengteori er, at den verden, vi lever, ikke er mere end de tre rumlige dimensioner, vi kan se. De ekstra dimensioner, dem, vi ikke kan se, rulles op i små små rum, der er for små til, at vi kan opfatte., Teoriendikterer, at disse små små rum har en bestemt geometriskstruktur. Der er en klasse af geometriske objekter, kaldetcalabi-Yau manifolds, som passer regningen (se denne artikel for at finde ud af mere). Og en af de enkleste klasser af Calabi-Yau manifolds kommer fra, vente på det, K3 overflader, som Ramanujan var den første til at opdage. Ramanujan kunne naturligvis aldrig have drømt om denne udvikling. “Han var en whhi.med formler, og jeg tror at konstruere dem nær counter-eksempler til Fermat’ slast sætning.”siger Ono., “Så han udviklede en teori for at finde de første mangler, uden at erkende, at den maskine, han byggede, de formler, som han skrev ned, ville være nyttige for enhver, nogensinde, i fremtiden.”

Ono udelukker ikke, at Ramanujans manuskripter indeholder yderligerehidden treasures. “Jeg har kendt omkring 1729 i tredive år. Det er en dejlig, romantisknummer. Ramanujan var et geni, og vi er stadiglære om, i hvilket omfang hans kreativitet førte ham til hisformulas. Hans arbejde udgør en kasse, der holdes på Trinity College, ogtre notesbøger, der holdes på University of Madras. Det er ikke meget., Det er vanvittigt, at vi stadig regner medhvad han havde i tankerne. Hvornår slutter det?”

yderligere læsning

Du kan læse mere om Ramanujans arbejde i et forsvindende tal. For eksperter, Ono og Trebat-Leder papir er tilgængelig her.

Om denne artikel

KenOno er Asa Griggs Candler Professor i Matematik og datalogi ved Emory University.Sarah Trebat-Leder er ph.d. – studerende ved Emory, hvor hun er Graduateoodruff Fello. og NSF Graduate Fello..Marianne Freiberger er redaktør af Plus. Hun interviewede Ono og Trebat-Leder i oktober 2015.