Ramanujan překvapení znovu

krabice rukopisů a tři notebooky., To je vše, co zbylo z práce Srinivasy Ramanujan, Indického matematika, který žiljeho pozoruhodný, ale krátký život kolem počátku dvacátého století. Přesto ta malá skrýš matematického odkazu stále překvapuje. Dva matematici Emory University, KenOno a Sarah Trebat-Leder,nedávno učinili fascinující objev na svých zažloutlých stránkách. Ukazuje to, že Ramanujan byl ještě před svou dobou, než kdokoli čekal, a poskytuje krásné spojení mezi několika milníky v dějiněmatematiky. A všechno se vrací k neškodně vyhlížejícímu číslu 1729.,

Ramanujanův příběh je stejně inspirativní jako tragický. Narodil se v roce 1887 v malé vesnici kolem 400 km fromMadras (nyní Chennai), Ramanujan vyvinula vášeň pro matematiku v mladém věku, ale musel pokračovat sám a v chudobě. Až do roku 1913 se rozhodl napsat alettera slavnému teoretikovi Cambridge number G.H. Hardymu. Hardy, zvyklý na tuto časnou formu spamu, mohl být zvyklý na odeslání vysoce neortodoxního dopisu přímo do koše. Hardy však uznal autorovu genialitu a pozval Ramanujana do Cambridge,kam dorazil v roce 1914., V následujících letech Ramanujan morethan splatil Hardyho víru ve svůj talent, ale trpěl špatným zdravotním stavem kvůli, částečně, kgrizzly anglické klima a jídlo. Ramanujan se vrátil do Indie v roce 1919, stále slabý, a zemřel následující rok, ve věku pouhých 32 let. Hardy později popsal svou spolupráci sramanujan jako „jeden Romantický incident v mém životě“.

číslo taxi-cab

romantismus se otřel o číslo 1729, které hraje acentrální roli v příběhu Hardy-Ramanujan. „Vzpomínám si, jak jsem jednou viděl, když byl v Putney nemocný,“ napsal Hardy později., „Jel jsem v taxíku číslo 1729 a poznamenal jsem, že číslo mi připadalo poněkud zbožné a že jsem doufal, že to není nepříznivé znamení. „Ne“, Zde je to velmi zajímavé číslo; je to nejmenší číslo, které lze shrnout jako součet dvou kostek dvěma různými způsoby.,'“ WhatRamanujan znamená, že

anekdota získal číslo 1729 slávy v matematických kruzích, ale untilrecently lidé věřili, jeho zvláštní vlastnost byla jen další randomfact Ramanujan provádí asi v jeho mozku — podobně jako vlak spotterremembers doby příjezdu vlaku. To, co Ono a Trebat-Leder objevujíukazuje však, že to byl jen špička ledového berg., V realityRamanujan byl zaneprázdněn vývojem teorie, která byla několik desetiletí aheadof jeho času a přináší výsledky, které jsou zajímavé pro matematici i dnes. Prostě nežil tak dlouho, aby mohl publikovat.

objev přišel, když Ono a kolega matematik Andrew Granville wereleafing přes Ramanujan rukopisů, chovaných v Wren Knihovny atTrinity College, Cambridge. „Seděli jsme hned vedle stolu a listovali stránkou po ramanujanově krabici,“ vzpomíná Ono. „Narazili jsme na tuto jednu stránku, která měla na sobě dvě reprezentace z roku 1729 ., Začali jsme se okamžitě smát.“

Fermat je poslední teorém a skoronehody

or

or

and so on.,

v roce 1637 francouzský matematik Pierrede Fermata s jistotou tvrdil, že odpověď je ne., Pokud je celé číslo větší než pak tam jsou žádné kladné celé číslo třílůžkové takové, že

Fermat načmáral na okraj stránky v knize, že on měl „objevil skutečně úžasný důkaz, který toto rozpětí je příliš úzký obsahovat“., Samozřejmě, toto tvrzení bylo jako catnip matematikům, kteří se následně zbláznili, více než 350 let a snažili se najít tento „skutečně úžasný důkaz“.,d=“4bd8a19d94″>

nebo

Od jakékoli kladné celé číslo třílůžkový splňující rovnici činí Fermatova tvrzení (že nejsou tam žádné takové třílůžkové) false, Ramanujan měl přišpendlený dolů nekonečné rodinné skoronehod, co by bylo proti-příklady na velká Fermatova věta.,

“ nikdo z nás netušil, že Ramanujan přemýšlí o něčem, co souvisí s Fermatovou poslední větou,“ říká Ono. „Ale tady na stránce, staringus tváří v tvář, byly nekonečně mnoho blízkosti pult-příklady, oba stejní, která happento souviset s 1729. Byli jsme zaplaveni.“Dokonce i dnes,téměř 400 let po Fermatova tvrzení a 20 let po itsresolution, jen pár matematiků, dokonce vím o rodinu Ramanujan měl přijít. „Jsem ramanujanský učenec a nevěděl jsem o tom,“ říká Ono. „V podstatě to nikdo nevěděl.“

eliptické křivky a lezení K3.

ale to není všechno., Když Ono a jeho postgraduální student SarahTrebat-Leder rozhodli dále zkoumat, hledat na jiných stránkách inRamanujan práce, zjistili, že měl vyvinul sophisticatedmathematical teorii, která překračuje cokoliv, lidé neměli podezření. „Sarah a já jsem strávil nějaký čas přemýšlet hlouběji o tom, co Ramanujan hadreally udělat, a ukázalo se, že se očekávalo, matematické 30 nebo 40let, než někdo věděl, že toto pole bude existovat. To je to, o čem jsme nadšeni.,uations of the form

it’s not too large a mathematical step to considering equations of the form

where and are constants., Pokud jste plot body , které splňují tyto rovnice (pro dané hodnoty ) v souřadnicovém systému, dostanete tvaru tzv. eliptickou křivkou (přesná definice je mírně moreinvolved, viz zde). Ellipticcurves hrál důležitou roli v eventuální důkaz Fermatova poslední věta, který byl dodán v roce 1990 matematik AndrewWiles.

Ono a Trebat-Leder zjistili, že Ramanujan se také ponořil do Theorie eliptických křivek., Nepředpokládal cestu, kterou se vydalsoubory, ale místo toho objevil objekt, který je vícekomplikované než eliptické křivky. Když objekty tohoto druhu byly znovu aroundforty let později byly zdobeny jméno ofK3 povrchy — na počest matematici ErnstKummer, ErichKähler a KunihikoKodaira, a na horu K2, která je stejně obtížné stoupání jako K3surfaces jsou obtížné zvládnout matematicky.

to, že Ramanujan měl objevit a pochopit mimořádně komplikovaný povrch K3, je samo o sobě pozoruhodné., Jeho práce na povrchu však také poskytla neočekávaný dárek Ono a Trebat-Leder, který se váže zpět k eliptickým křivkám. Jako všechny rovnice, nějaké eliptické křivky rovnice

přirozeně volá po řešení: dvojice čísel , které splňují rovnici., V duchu Fermata můžete hledat celá čísla, ale teoretici čísel si obvykle dávají trochu větší volnost. Hledají řešení, která jsou racionální čísla, tedy čísla, která lze zapsat jako zlomky.

loni v roce 2014 získal matematik Manjul Bhargava medaili Fields, jednu z nejvyšších v matematice, za velký pokrok v této souvislosti. Bhargavashowed, že většina eliptické křivky spadají do jedné ze dvou zvláště jednoduchých tříd. Buď existuje pouze konečně mnoho racionálních počet řešení, nebo existuje nekonečně mnoho, ale tam je recept, který produkuje všechny z nich jen jediné racionální řešení. (Můžete si přečíst náš rozhovor s Bhargavou a náš článek zkoumající některé jeho práce.,)

Pokud se vám prosít přes všechny eliptické křivky v systematickým způsobem, například tím, že nařídí jim, v závislosti na velikosti konstanty , který se objeví v jejich vzorce, pak jste s největší pravděpodobností pouze někdy jít přes tyto „jednoduché“ eliptické křivky. Pravděpodobnost nalezení více komplikovaný, který vyžaduje dvě nebo tři řešení, aby vytvářet všechny, je nulová. Hledání takových eliptických křivek systematicky je jako hledání Kupky sena pro jehlu způsobem, který zaručuje, že jehla vždy proklouzne sítí., Chcete-li se dostat k těm složitějším eliptickým křivkám, potřebujete jinou metodu.

a to je přesně to, s čím Ramanujan přišel. Jeho práce na K3 povrch hediscovered za předpokladu, Ono a Trebat-Leder metodu, jak vyrábět, ne jen jeden, ale nekonečně mnoho ellipticcurves, které vyžadují dvě nebo tři řešení, aby vytvářet všechny othersolutions. Není to první metoda, která byla nalezena, ale nevyžaduje žádné úsilí. „Svázali jsme světový rekord v tomto problému, ale nemuseli jsme dělat žádné zvedání těžkých břemen,“ říká Ono. „Nic jsme neudělali, kromě toho, že jsme poznali, co Ramanujan udělal.,“

fyzika a další rozměry

Tento příběh má další zajímavý zvrat. Zatímco Ramanujan pracoval v abstraktních sférách teorie čísel, fyzickéstudovat jevy reálného světa začaly rozvíjet teorii kvantummechaniky. Ačkoli triumf sám o sobě, brzy se stal jasnýmže výsledná kvantová fyzika se střetla s existujícími fyzickými teoriemi nerealizovatelným způsobem. Trhlina se ještě nezhojila a představuje největší problém fyziky jednadvacátého století(více zde)., Jeden pokus o záchranu situace rozvoje, začal v roce 1960, teorie strun, primecandidate na „teorii všeho“ sjednocení různorodých strandsof moderní fyziky.

kuriózní predikce teorie strun je, že svět, ve kterém žijeme, nemá více než tři prostorové rozměry, které můžeme vidět. Rozměry, které nevidíme, se srolují v malých prostorech, které jsou pro nás příliš malé na to, abychom je vnímali., Teorie říká, že tyto malé prostory mají zvláštní geometrickou strukturu. K dispozici je třída geometrických objektů, volalcalabi-Yau rozdělovače, který se hodí účet (viz tento článek se dozvědět více). A jedna z nejjednodušších tříd Calabi-Yau manifolds pochází, počkejte na to, povrchy K3, které Ramanujan objevil jako první.

Ramanujan by o tomto vývoji samozřejmě nikdy nesnil. „Byl to svištět s vzorců a myslím, že postavit ty blízko proti-příklady Fermatova poslední věta.“říká Ono., „Tak hedeveloped teorii najít thesenear mine, aniž by uznal, že themachine stavěl, ty vzorce, které psal dole,by bylo užitečné pro někoho, někdy, v budoucnu.“

Ono nevylučuje, že ramanujanovy rukopisy obsahují další skryté poklady. „Znám asi 1729 třicet let. Je to krásné, romantickéčíslo. Ramanujan byl génius a my jsme stáleučit se, do jaké míry ho jeho kreativita vedla k jehoformuly. Jeho práce činí jednu krabici, uchovávanou na Trinity College atři notebooky, uchovávané na univerzitě v Madrasu. To není moc., Je šílené, že stále zjišťujemeco měl na mysli. Kdy to skončí?“

další čtení

více o práci Ramanujana si můžete přečíst v mizejícím čísle. Pro odborníky, Ono a Trebat-Leder papír je k dispozici zde.

o tomto článku

KenOno je Asa Griggs Candler profesorem matematiky a informatiky na Emory University.

Sarah Trebat-Leder je doktorandkou v Emory, kde je Woodruff Fellow a absolventkou NSF.

Marianne Freiberger je redaktorkou Plus. Ona rozhovor Ono a Trebat-Leder v říjnu 2015.